钢结构稳定理论-2.

哈尔滨工业大学钢结构稳定理论第二章轴心受压构件的弯曲屈曲(flexuralbucklingofaxialcompressedmembers)§2-1轴压杆的荷载位移曲线1-小挠度理论欧拉临界力(弹性)2-大挠度理论屈曲后性能(弹性)3-有初弯曲时(弹性)4-有初偏心时(弹性)3’-有初弯曲时(弹塑性)4’-有初偏心时(弹塑性)哈尔滨工业大学钢结构稳定理论§2-2理想轴压杆的弹性屈曲(perfectcolumns)1）理想轴压杆的欧拉临界力Eulercriticalload基本假设：同一材料制成的等截面直杆，两端铰接；荷载作用在截面形心上；平截面假定，仅考虑弯曲变形（忽略剪切变形）；材料为弹性；构件变形非常微小（小挠度理论）。yyyΦ/232])(1[1y哈尔滨工业大学钢结构稳定理论则力矩平衡方程为：yEIEIyPM0PyyEI为二阶齐次常微分方程EIPkyky220该微分方程的通解为：kxBkxAycossinA,B为待定系数，由边界条件确定哈尔滨工业大学钢结构稳定理论kxAyByxsin,0000sin0klAylx0A否则方程的解为0，没有意义。0sinkllnkn即2lnEIP由此可得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：222lEInPcrnlxnAysin哈尔滨工业大学钢结构稳定理论参数kn或Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值(eigenvalue)。在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解特征值问题。221lEIP2224lEIP2239lEIP轴向压力横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力221lEIPPElxnAysin哈尔滨工业大学钢结构稳定理论2）边界效应与计算长度的概念(boundaryconditionsandeffectivelengthconcept)（求解两端为任意支承情况时的临界力）PQMBMAPQMAPQPQMxxyy任意一截面弯矩(对A点取矩)：AMQxyPMlMMQBA弯矩与曲率的关系AMQxPyyEIyEIM则有二阶常系数微分方程：其中：哈尔滨工业大学钢结构稳定理论则方程的通解为：DCxkxBkxAycossin其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。对通解求导，可得其各阶导数：kxBkkxAkykxBkkxAkyyCkxBkkxAkyysincos'''cossin''sincos'3322各种支承情况的边界条件为：铰支：固支：自由端：0'''',0''0',00'',02ykyyyyyy剪力Q＝0，由前面的微分方程得：再求一次导数得：AMPyyEI0''''2yky杆件两端各有两个边界条件，共四个，正好形成四个方程EIPk其中哈尔滨工业大学钢结构稳定理论工况一：两端嵌固轴心压杆有：0',0,0',000lxlxxxyyyy00sincos0cossin00010010CklBkklAkDClklBklACBkAkDCBA001sincos1cossin0101010klkklklklklk为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。哈尔滨工业大学钢结构稳定理论0)2cos2sin2(2sin2klklklkl则：因此有：由第一式得：第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法在坐标系中分别画出曲线和，其交点即为方程的解。2202sinklkltgkl或22min2224422lEIPlEInPEIPlnknklcrcrn2kltgy2kly哈尔滨工业大学钢结构稳定理论取最小值得：22)2/(4634.44934.443.12lEIPklcr结合上述两个方程的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：224lEIPcr哈尔滨工业大学钢结构稳定理论工况二：一端铰接、一端嵌固的轴心压杆有：0',0,0',000lxlxxxyyyy0cos0sin0sincos0cossin01012CklAClklACklBkklAkDClklBklABkDB哈尔滨工业大学钢结构稳定理论kltgklklklklklklkl0cossin01cossin采用图形曲线法得：lkkl43.143.122222)7.0()43.1/(43.1lEIlEIEIlPcr哈尔滨工业大学钢结构稳定理论工况三：一端嵌固、一端自由的轴心压杆有：0'''',0''0',0200lxlxlxxxykyyyy0cos00)sincos(sincos0cossin0020,023322klBkDBCklBkklAkkklBkklAkklBkklAkCAkDBCA哈尔滨工业大学钢结构稳定理论0cos0cos00cos1122klklkklk)3,2,1(212nnkl222)2(2)12(lEIPEIlπnPcr哈尔滨工业大学钢结构稳定理论工况四：一端嵌固、另一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：0'''',0'0',0200lxlxlxxxykyyyy0sin00)sincos(sincos0sincos000,0233klBkDBCklBkklAkkklBkklAkCklBkklAkCAkDBCA哈尔滨工业大学钢结构稳定理论0sin0sin00sin11klklkklk)3,2,1(nnkl222lEIPEIlnπPcr哈尔滨工业大学钢结构稳定理论工况五：一端铰支、一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：0'''',0'0'',0200lxlxlxxxykyyyy220,0,0233)2(0cos0)sincos(sincos0sincos00lEIPklCklBkklAkkklBkklAkCklBkklAkBDBcrCDB哈尔滨工业大学钢结构稳定理论注：从上述五种工况的结果可以看出，临界力Pcr可表达为：220202)(lEIPlllEIPcrcrl0－有效长度、或计算长度；l－实际杆长；μ－杆件计算长度系数。哈尔滨工业大学钢结构稳定理论哈尔滨工业大学钢结构稳定理论临界应力：其中：屈曲临界应力与长细比的关系：22202202202EilEAIlEAlEIAPcrcrilil0超过屈服点fy时以虚线表示哈尔滨工业大学钢结构稳定理论§2-3轴心受压构件的大挠度理论1）大挠度方程基本假设：同一材料制成的等截面两端铰接直杆；荷载作用在截面形心上；平截面假定，仅考虑弯曲变形；材料为弹性；构件曲率与变形的关系：因此大挠度方程为：232])(1[/yyΦ0])(1[232PyyyEI/与小挠度理论相同哈尔滨工业大学钢结构稳定理论2）大挠度理论的解应采用特殊的变换和数值解法才能求解。（大多数非齐次微分方程都没有解析解）可以得到大挠度理论轴心受压构件的荷载挠度曲线哈尔滨工业大学钢结构稳定理论哈尔滨工业大学钢结构稳定理论3）几点结论当PPE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳定平衡状态；当P≥PE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与挠度关系；大挠度理论使用了弹性假设，因此屈曲后荷载有所提高，但当挠度达到构件长度3％以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹塑性状态，出现下降段，如上图所示。因此轴心压杆的屈曲后强度提高时没有意义的。哈尔滨工业大学钢结构稳定理论§2-4理想轴心压杆的弹塑性屈曲(inelasticbuckling)1）理想弹性轴压杆屈曲的适用范围yEIM当σcr比例极限σp时，欧拉公式不再适用。因为前面推导时用到了，E为弹性模量，应该是不变的；而弹塑性阶段时模量将发生变化。哈尔滨工业大学钢结构稳定理论临界长细比（为弹性失稳和弹塑性失稳的分界点）若令：ppppcrEE22哈尔滨工业大学钢结构稳定理论轴心压杆弹塑性失稳的计算理论切线模量理论，1889，Engesser.F,Et双模量理论，1895，Engesser.F,EtErEShanley理论，1946，Shanley.F.R,广泛用于解决稳定的分岔失稳问题，或板的非弹性屈曲。Shanley证明：切线模量屈曲荷载是弹塑性屈曲荷载的下限，而双模量屈曲荷载为其上限。实际试验结果更接近于切线模量理论。哈尔滨工业大学钢结构稳定理论2）切线模量理论TangentModulusTheory,1889年Engesser提出基本假设构件是挺直的；构件两端铰接，荷载沿构件轴线作用；构件的弯曲变形很微小；弯曲前的平截面在弯曲后仍为平面；在弯曲时全截面没有出现反号应变。哈尔滨工业大学钢结构稳定理论哈尔滨工业大学钢结构稳定理论最后一条假设认为：达到弹塑性失稳荷载Pt后，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在1－1截面右侧边缘产生的拉应力。即：凹面压应力增加为Δσmax；凸面压应力增加量正好为0。作用于1－1截面上的压力为：hEEttmaxmaxttAtAPPPdAdAP)(哈尔滨工业大学钢结构稳定理论作用于1－1截面上的内力矩为：''2max2max2maxyIEIEzdAChdAzhdAzhCzdAzMttAAAAi全截面对形心轴的面积矩为0哈尔滨工业大学钢结构稳定理论任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中Pt和Et均为未知，需要迭代求解。0PyMPyMii0''PyIyEtEtttPEElIEP22tttPEP哈尔滨工业大学钢结构稳定理论3）双模量理论DoubleModulusTheory,1895年Engesser提出补充基本假设上述假设最后一条变为：弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；即凹面为继续加载区，凸面为卸载区。加载区变形模量为Et（它与截面平均应力σr相对应）；卸载区变形模量为E弯曲轴远离形心轴向移动哈尔滨工业大学钢结构稳定理论哈尔滨工业大学钢结构稳定理论在加载区距弯曲轴z1处：在卸载区距弯曲轴z2处：1max1max111max1111/CEECzttr2max2max222max2222/CEECzr哈尔滨工业大学钢结构稳定理论212121PPPdAdAdAdAPrAAArA1-1截面上的压力：认为由上式可以求出中性轴的位置01121222max2111max12121AAAAdAzCdAzCdAdAPP哈尔滨工业大学钢结构稳定理论'')()(2121212221212222max21211max1222111212121yEIIEEIIEIEIEdAzEdAzEdAzCdAzCdAzdAzMtttA