第十章 双线性函数

高等代数第十章双线性函数第1页共6页第十章双线性函数§10.1线性函数1．设V是数域F上的一个线性空间,f是V到F的一个映射,若f满足:(1)()()();(2)()(),ffffkkfαβαβαα+=+=式中,αβ是V中任意元素,k是F中任意数,则称f为V上的一个线性函数.2．简单性质:设f是V上的线性函数（1）(0)0,()().fffαα=−=−（2）11221122()()()()ttttfkkkkfkfkfαααααα+++=++LL例1对数域F上的任意方阵()ijnnAa×=,我们已定义1122()nntrAaaa=+++L为A的对角元之和,称为A的迹.容易验证映射:,()nntrAtrA×→→FF满足条件:(1)()()(),,;(2)()(),,.nnnntrABtrAtrBABtrkAktrAAk××+=+∀∈=∀∈∈FFF因此tr是nn×F的线性函数.例2设[]VFx=,a是F中一个取定的数.定义[]Fx上的函数aL为:(())(),()[],aLfxfafxFx=∈即(())aLfx为()fx在a点的值,(())aLfx是[]Fx上的线性函数.如果V是数域F上的一个n维线性空间，取定V的一组基12,,,nεεεL.对V上任意线性函数f及V中任意向量α:1122nnxxxαεεε=+++L高等代数讲义第2页共6页都有1122()()()()nnfxfxfxfαεεε=+++L因此,()fα由12(),(),,()nfffεεεL的值唯一确定.反之,任给F中n个数12,,,naaaL,用下式定义V上一个函数f:11()nniiiiiifxaxε===∑∑这是一个线性函数,而且(),1,2,,iifainε==L我们有:3.设V是数域F上的一个n维线性空间,取定V的一组基12,,,nεεεL,对于任给F中n个数12,,,naaaL,存在唯一的V上线性函数f使(),1,2,,iifainε==L.§10.2对偶空间1．对偶空间定义设V是数域F上的n维线性空间.V上全体线性函数组成的集合记为*V.*V上定义加法与数乘：()()()(),fgfgVαααα+=+∈.()()(()),.kfkfVααα=∈则,fgkf+都是线性函数,故*V成为F上的线性空间.*V称为V的对偶空间3．对偶基取定V的一组基12,,,nεεεL，定义V上的n个线性函数(1,2,,)ifin=L如下:()ijijfεδ=则12,,,nfffL是*V中线性无关的向量组,构成*V的一组基.我们称之为12,,,nεεεL的对偶基.4．对偶空间的维数*dimdimVVn==.高等代数第十章双线性函数第3页共6页5．对偶基之间的关系设12,,,nεεεL及12,,,nηηηL是线性空间V的两组基,它们的对偶基分别是12,,,nfffL及12,,,ngggL.再设由12,,,nεεεL到12,,,nηηηL的过渡矩阵为A,那么由12,,,nfffL到12,,,ngggL的过渡矩阵为1()TA−.6．V到**V的同构（1）取定V中一个向量x,定义*V的一个函数**x如下:***()(),xffxfV=∈.（2）函数**x具有下列性质z****xV∈z若**()0xf=对一切xV∈成立,则0f=;z若**()0xf=对一切*fV∈成立的充分必要条件是0x=.（3）同构V是一个线性空间,**V是V的对偶空间的对偶空间.V到**V的映射**xx→是一个同构映射.如果把V与**V在这个同构下等同起来,则V可以看成*V的对偶空间.这样V与**V具有同等的地位,它们互为对偶.§10．3双线性函数一、双线性函数的定义与矩阵1．定义设V是数域F上一个线性空间,(,)fαβ是V上一个二元函数,即将V中任意两个向量,αβ对应于F中一个数(,)fαβ,并且满足如下条件:1122112211221122(1)(,)(,)(,);(2)(,)(,)(,)fkkkfkffkkkfkfαββαβαβααβαβαβ+=++=+高等代数讲义第4页共6页这里121212,,,,,;,Vkkαααβββ∈∈F.我们称(,)fαβ是V上一个双线性函数.注：将V中一个变元固定时的映射:,(,)fVfαβαβ→aF和:,(,)Vαϕβϕβα→aF都是V上的线性函数,就是说,fααϕ都是V的对偶空间*V中的向量.2．定理（双线性函数的形式）设在数域F上的线性空间V上定义了双线性函数f,12,,,nεεεL是V的任意一组基.则任意,Vαβ∈在f下的值(,)fαβ可以由,αβ在该基下的坐标,XY按下列公式计算:(,)TfXAYαβ=，其中()ijnnAa×=由(,)ijijafεε=组成,称为双线性函数f在12,,,nεεεL下的度量矩阵.3．简单性质设,fg在12,,,nεεεL下的度量矩阵分别是,AB,则（1）fg+在12,,,nεεεL下的矩阵分别是AB+；（2）kf在12,,,nεεεL下的矩阵分别是kA。4．同构:(,,)nnLVVσ×→FF将线性空间V上的全体双线性函数组成的集合记为(,,LVVF）,则它对以上定义的加法和数乘运算封闭,这样的加法和数乘也满足线性空间的八条运算律,因而它是F上的线性空间.上面定义的对应关系:(,,)nnLVVσ×→FF是线性空间之间的同构.因此(,,LVVF）是F上2n维空间,我们可由nn×F的基得到(,,LVVF）的基.5．同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的在不同基下,同一个线性函数的度量矩阵一般是不同的.设12,,,nεεεL与12,,,nηηηL是线性空间V的两组基:高等代数第十章双线性函数第5页共6页1212(,,,)(,,,)nnCηηηεεε=LL对于,Vαβ∈,有1212112121(,,,)(,,,),(,,,)(,,,),nnnnXXYYαεεεηηηβεεεηηη====LLLL则11,XCXYCY==.代入f在两组基下的坐标表达式，得到11(,)TTfXAYXBYαβ==.又有1111(,)()()()TTTfCXACYXCACYαβ==.由向量,αβ的任意性,可知上式中11,XY的任意性.因此'BCAC=即同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.二、对称和反对称双线性函数1．定义设(,)fαβ是线性空间V上一个双线性函数,若对V中任意两个向量,αβ都有(,)(,)ffαββα=则称(,)fαβ为对称双线性函数.若对V中任意两个向量,αβ都有(,)(,)ffαββα=−则称(,)fαβ为反对称双线性函数.2．命题双线性函数是对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵;双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.3．对称的情况定理设V是数域F上n维线性空间,(,)fαβ是线性空间V上一个对称双线性函数,则V中存在正交基12,,,nεεεL,使f在这组基下的矩阵为对角阵1(,,,0,,0),(),0,1riAdiagaarrankAair==≠∀≤≤LL高等代数讲义第6页共6页注：如果(,)fαβ在12,,,nεεεL下的度量矩阵为对角矩阵,那么对11,nniiiiiixyαεβε====∑∑,有111222(,)nnnfdxydxydxyαβ=+++L推论若F是实数域R,可进一步使(,,)prpnrAdiagEEO−−=−;若F是复数域C,可进一步使(,)rnrAdiagEO−=.4．反对称的情况定理设V是数域F上n维线性空间,(,)fαβ是线性空间V上一个反对称双线性函数,则V中存在一组基12,,,nεεεL,使f在这组基下的矩阵为准对角阵0101001010diag⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠LLF上任意反对称方阵A合同于上面形式的准对角矩阵.5．关于对称双线性函数(,)fαβ正交基V上的对称双线性函数(,)fαβ如果是非退化的,则有V的一组基123,,,,nεεεεL满足(,)0,1,2,,;(,)0,.iiijfinfjiεεεε≠=⎧⎨=≠⎩L这组基称为V的对于(,)fαβ的正交基.