有限元分析第4章 平面问题有限单元法2

李建宇天津科技大学有限元分析FiniteElementAnalysis内容平面问题的有限元法23形函数的性质4整体刚度矩阵的组装及其性质5等效节点载荷向量要求理解：连续体有限元分片插值的含义；形函数的功能及其性质；基于虚功方程的整体刚度矩阵的组装；基于虚功方程的等效节点载荷向量的生成掌握：常应变三角形单元组装技术；常应变三角形单元等效节点载荷向量的生成课后作业推导常应变三角形单元总刚和等效载荷向量回顾连续体有限元分析的基本流程整体离散单元分析单元组装整体解算连续体结构人工节点逼近离散vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo单元节点位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxyxo单元等效节点力单元刚度方程0eeeKF离散化方法回顾几何实体的逼近性离散三角形单元分析回顾iiiejjjmmmuvuvuv目标：对三角形单元，建立节点位移与等效节点力之间的转换关系。vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo单元节点位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxyxo单元等效节点力exieyiexjeeyjexmeymFFFFFFF～？回顾三角形单元分析单元分析的流程（1）节点位移内部节点位移vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo解决办法：插值(分片插值的提法),0,0,0,0,0,0,,iiijmjijmjmmuvNxyNxyNxyuxyuNxyNxyNxyvxyvuv形函数矩阵形函数（shapefunction）及其性质回顾1,()2iiiiNxyabxcyA下标i,j,m轮换ijmmjaxyxyijmbyyijmcxx性质：其中：（a）Ni(x,y)在i点的节点位移为1，其它节点为0。（b）单元中任一点各形函数的和为1。力学意义：固定j，m节点，使i节点发生位移1，则单元内各点的位移场为Ni(x,y)。力学意义：令单元发生刚体位移u0，则单元内各点的位移均为u0，即00,,,,iijjmmijmuxyNxyuNxyuNxyuNNNuu单元分析流程（2）内部节点位移应变回顾解决办法：弹性力学几何方程00xuvyyxeuNv00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuveB}]{[}{[B]矩阵称为应变矩阵得代入该单元为常应变单元单元分析流程（3）应变应力回顾解决办法：弹性力学物理方程eB}]{[}{得代入DeDB{}[]{}eS[S]矩阵称为应力矩阵。SDB2101011002EDijmSSSS22(1)1122iiiiiiiibcESDBbcAcb00010002ijmijmiijjmmbbbBcccAcbcbcb例：对于平面应力问题SDB代入得其中单元分析流程dddeeepxxyyxyxyxyxySbubvpupvS（4）应力等效节点内力回顾解决办法：单元平衡分析平面问题虚功原理euNveB}]{[}{{}[]{}eS代入得ddeeTeTexxyyxyxyBDB内力虚功＝外力虚功＝ddeepeTexyxySbubvpupvSF外力虚功＝内力虚功0eeeKF单元刚度方程单元刚度方程建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵。它是6×6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。eK0eeeKF一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质已经求出了下列关系tABTtA]B][D[]B[KTeeeFDB]B][D[S(6)(3)(3)(6╳3)(3╳3)(3╳6)(3╳6)(6╳6)一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质节点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例)平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。节点力和节点位移的关系为单元刚度方程：ADBPCAPeeeFKδ一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义：将写成分块矩阵写成普通方程其中表示节点s(s=i,j,m)产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上所需要施加的节点力的大小。iiiijimijjijjjmjmmimjmmmFKKKδFKKKδFKKKδmiiiiijjimimjjiijjjjmmmiimjjmmmFKδKδKδFKδKδKδFKδKδKδeFrsKeF一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义：将节点力列向量与节点位移列向量均扩展成(6×1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6×6)阶方阵：元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。eFeiijuvuixiiiiijijimimiiijimimiyiiijjxjijijjjjjmjmjijjjmjmjyjijjjmimjmmmmmxmimjmmimjmmmmmymimjmKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFv一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的各元素的物理意义：表示节点s(s=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平节点力和垂直节点力的大小。例如表示节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小。rxrssrsssi,j,mF(KuKv)(ri,j,m)ryrssrssSi,j,mF(KuKv)(ri,j,m)rsrsrsrsK，K，K，KijK一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的性质：1)对称性：是对称矩阵2)奇异性：是奇异矩阵单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。（力学含义是什么？）由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。eKeK0Ke一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的性质：例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a)1、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求0eK1000101000101011011Ba5.000010001ED10001000010100.50.500.50.5ESa5.15.15.5.05.5.105.5.11010005.5.05.5.05.5.05.5.00100012EtKe回顾连续体有限元分析的基本流程整体离散单元分析单元组装整体解算连续体结构人工节点逼近离散vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo单元节点位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxyxo单元等效节点力单元刚度方程0eeeKF二、单元组装技术组装原理：节点位移协调条件节点平衡条件ijm③④①②③③①①④④iiii)1(iVyiPxiP)e(iU)3(iV)3(iU)1(iU)4(iV)4(iU)e(iV(a)(b)(c)位移协调条件：各单元共享节点的位移相等节点平衡条件：各单元内力与节点外力构成平衡力系二、单元组装技术ijm③④①②③③①①④④iiii)1(iVyiPxiP)e(iU)3(iV)3(iU)1(iU)4(iV)4(iU)e(iV(a)(b)(c),iiuv以i点为例，利用虚功原理建立平衡方程，设虚位移各单元i节点等效内力的虚功为:1,3,4eeiiiieUuVv各单元i节点等效外力的虚功为:xiiyiiPuPvi节点平衡方程：1,3,4eeiiiieUuVvxiiyiiPuPv＝二、单元组装技术iiejjmmuvuvuv0eeeKF由单元刚度方程：对每一个单元，将i节点虚位移扩展到单元全部节点，如，eeiiuTv则[T]e表示节点位移提取矩阵对i节点，有TT,1:6,eeeeeeixiyixiyeKTPPTTeeeeeeixiiyieeFuFvKT同理，可建立其它节点的平衡方程。二、单元组装技术对i节点，有TT,1:6,eeeeeeixiyixiyeKTPPT将每一个单元的节点位移（包括虚位移）扩展到全部节点位移向量，如eeT则，11iinnuvuvuv[T]e表示单元节点位移提取矩阵二、单元组装技术对所有节点，有TTTTeeeeTKTP由虚位移的任意性，整理得TTeeeeTKTPTeeeeKTKT总体刚度矩阵总体刚度方程二、单元组装技术KP总体刚度方程等效节点外载荷向量。三、单元等效节点外载荷向量连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解)，而成为节点载荷。将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。等效公式：ddeepeTexyxySbubvpupvSR注：单元边界内力相互抵消三、单元等效节点外载荷向量在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。yjcbxiwlmmyiyjyyjcbxiwlmmxixjx均质等厚度的三角形单元所