有限元化

有限元分析•有限单元分析（FEA），也称为有限单元法（FEM），它是求解场问题（位移场、应力场、应变场）数值解的一种方法。基本思路：•有限元法是把连续介质离散成一组单元，使无限自由度问题转化成有限自由度，再用计算机求解，得到的结果是数值解。有限单元法可以用来分析形状十分复杂的结构。离散结构（分为若干单元）↓单元分析（建立单元刚度矩阵形成单元等价节点力）↓系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵形成等价节点荷载)↓解综合方程求结构节点位移，计算结构内力和应力有限元分析流程：•1.结构离散化，将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。•2.单元分析，通过对单元的力学分析建立单元刚度矩阵。•3.整体分析。有限元法分析的一般步骤为：有限元法的优点和特性：•FEA可以运用于任何场问题：热传导、应力分析、磁场问题等等。•没有几何形状的限制。所分析的物体或区域可以具有任何形状。•边界条件和载荷没有限制。•材料性质并不限于各向同性，可以从一个单元到另一个单元变化甚至在单元内也可以不同。•具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合起来。•有限元结构和被分析的物体或区域很类似。•通过网格细分可以很容易地改善解的逼近度，这样在梯度大的地方就会出现更多的单元，需要求解更多的方程。有限元分析软件：•目前最流行的软件有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC，其中ADINA、ABAQUS在非线性分析方面有较强的能力，ANSYS、MSC进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大软件都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。有限元分析讲解：•1.模型•2.本构关系•3.误差分析1.1有限元模型•有限元方法的解只是一种逼近原结构真实解的近似解答。•求解工程结构问题时，由于结构几何形状与边界条件的复杂多样性，依靠结构力学或弹性力学的直接解析来求取结果往往非常复杂。通常最常用的是有限元法。有限元法进行的依据不再是结构弹性体原型，而是将其进行离散化处理的，由有限个单元在有限个节点相关联的替代结构，即“有限元模型”。1.2建模分析•解析的方法应用于模型问题而非实际的物理问题。甚至实验室的实验也用于模型，除非对实际物理结构进行实验。•模型建立过程中，分析问题的本质特征，细节可以排除。这样模型的分析会得到简化，而且也提供了足够的精度来描述实际问题。当模型被选定的微分方程组和边界条件描述或逼近时，几何模型就变成了数学模型。可能会含有一些限制条件：均匀性、各向同性、材料性能恒定以及小应变和小转角等。1.3建立模型的方法和步骤：•第一、模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。•第二、模型假设：根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设。为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。•第三、模型构成：根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。•第四、模型求解：实际问题的解决往往需要纷繁的计算，因此就要用到计算机。•第五、模型分析：能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。1.4小结（1）单元类型和材料属性：有限元中单元类型分为：杆单元、梁单元、壳单元、实体单元等。有限元模型是多单元组成的离散结构，其单元之间仅通过结点连接，因此，内力自然也是通过结点从一个单元向另一个单元传递。单元的位移函数是由单元结点位移得出的。确定了模型的材料属性从而确定了本构关系（弹性、弹塑性、塑性等）（2）网格划分：有限元模型里，单元网格划分的疏密将决定其单元尺寸与数目的大小，网格划分越密，有限元模型与原结构的形状、特性愈加接近，从而提高其近似解的精度。可以根据应力梯度来划分网格，在梯度大的区域网格密些，梯度小的区域应稀些。密、稀网格间应逐步过渡。（3）边界条件和载荷：在应力分析中，物体的任意部分都可以被支撑起来，然而分布力或集中力却可以施加在其它任何部位。2本构关系2.1理想弹性体本构关系理想弹性体中，形变分量与应力分量之间的关系及其简单，就是材料力学中胡克定律的基本形式：xyxyzxzxyzyzyxzzxzyyzyxxGGGEEE1,1,1)]([1)]([1)]([1其中E是弹性量，G是剪切弹性模量，为Poisson系数xyxyxyyyxxGEE11112EG（1）在平面应力问题中，，yxzE0yzzx0z（2）在平面应变问题中，由于物体的所有各点都不沿z方向移动，即w=0，所以z方向的线段都没有伸缩，即z=0。于是由胡克定律中的第三式得：yxz代入其它式子，注意到，则有xyxyxyyyxxGEE11111220yzzx2.2弹塑性本构关系弹塑性本构关系分为全量本构关系和增量本构关系。全量本构关系为：增量本构关系可分为：理想材料的本构关系、线性等向强化材料的增量本构关系和线性随动强化材料的增量本构关系。)31(32ijkkijiiijkkijK理想材料的本构关系：线性等向强化材料的增量本构关系和和理想材料的本构关系相同。dSddEdijijkkijij])1[(1线性随动强化材料的增量本构关系：dcSddEdpijijijkkijij)(])1[(13误差分析凡用FEA计算的结果都包含误差，除非数学模型简单到没有必要进行有限元分析。误差是指FEA结果与数学模型精确解之间的不一致。误差分类：建模误差、用户误差、缺陷、离散化误差、截断误差、操作误差。•建模误差：物理系统和它的数学模型的差别。分析的不是实际问题，而是它的数学模型，经过简化，实际问题中的许多细节被略去，保留下来的用可以接受的数学公式来描述。•用户误差：理解了物理问题，决定要分析的问题和创建了合适的数学模型以后软件用户所犯的错误。例：选错单元类型、选择不合适的单元尺寸和形状。•缺陷是针对软件而言的。•离散误差：用FEA模型表现数学模型而引入的误差。数学模型中自由度的数量是无限的，而在FEA中却是有限的。•截断误差：截断或舍入小数位以符合计算机有限字长而丢失的信息。•操作误差：在方程处理中引入的，例：乘法的结果被截断或是舍入。当计算工序被重复地执行，操作误差就可能会积累。•数值误差：是截断误差和操作误差结果的组合。误差分析小结•离散化误差、截断误差、操作误差、数值误差。是由计算机决定的，建模时不用考虑。•建模误差是有意的合理和经过考虑的近似，而不是错误。是对问题的简化，边界条件被理想化，比如认为支撑是刚性的。建模时我们应该合理的对模型进行简化。•用户误差的解决，从单元类型的选择和网格划分两方面下手。（1）选择单元类型：通常采用的单元类型可分为：a非协调单元，不能完全保证相邻单元间位移连续性的单元。b协调单元，能完全保证相邻单元间位移连续性的单元。C高阶协调单元，不但能完全保证相邻单元间位移连续性，而且还能保障单元间应变的连续性。在选择单元时，应该根据实际情况选择合理的类型。（2）网格划分：有限元模型里，单元网格划分的疏密将决定其单元尺寸与数目的大小，网格划分越密，有限元模型与原结构的形状、特性愈加接近，从而提高其近似解的精度。可以根据应力梯度来划分网格，在梯度大的区域网格密些，梯度小的区域应稀些。密、稀网格间应逐步过渡。通过网格划分可以和容易的改善解的逼近度