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高宏模型推导1.索罗模型_SolowModel1.1基本假设生产函数：,YFKAL，一次其次；LnL，AgA；KsYK。1.2Aksfkkng生产函数转化：令YyAL，KkAL⇒yfk⇒22KALALALKsYKALALALKkALAL⇒Aksfkkng1.3k的收敛速度方法：**kkkkkkkk，其中Akksfkkng****Akkkkkkksfkngkkk⇒收敛速度：**Akngsfkkk**11KAsfkngAAKAsfkngngng1.4产出储蓄率弹性&黄金资本存量均衡时0k⇒**Asfkkng⇒***Angsfkdkfkds⇒***Afkksngsfk⇒**********11AAsfkngKsfkKngfkdksfkdyssdkdsydsdsfkfk***Acfkkng⇒***Ackfkngss黄金资本存量：*GRAfkng2.RCK模型_Ramsey-Cass-KoopmansModel2.1欧拉方程步骤一：令CcL，YyL，KkL总效用函数：0ntttUuceedt预算约束条件：ktwtrtktctnkt均衡时0kt⇒0wtrtktctnkt建立汉密尔顿方程：ntttHtuceetwtrtktctnkt实现消费者一生效用昀大的充要条件是：0Htct⇒0ntttuceetdtHtdtkt⇒ttrtnntttuceet两边对时间求导得：ntnttttcucenucet⇒ntntnttttttcucenuceuceertn⇒tttttucrtccucc令111ttcuc⇒ttucc，1ttucc⇒ttrtcc步骤二：令CcALYyAL，KkAL⇒ccA⇒21AArtccAcAAccgrtgAAccA⇒11AAcrtgfkgc【厂商行为】厂商利润函数：fkwrkk，利润昀大化条件：0dfkrdk⇒rfk均衡时，0⇒wfkrkkfkfkk2.20c和0k曲线①0c曲线由1Acfkgc⇒*Afkg②0k由Aktfkctngkt⇒***Acfkngk2.3均衡时的*k均衡时*k满足：*Afkg，而黄金资本存量*GRk满足：*GRAfkng，需要证明**GRkk（动态有效），即证：AAngg，即10Agn。利用1011ntttcUeedt有界来证明。11000111001111111111111111gtnttntttgnncecUeedteedtcceegnngnn有界要求10gn，0n，所以AAngg得证，**GRkk得证。2.4均衡时的储蓄率*syfkk⇒1yfkkk⇒kfkfk⇒********AAfkcngsfkcgfkkfk2.5k和c的收敛速度将Aktfkcngk在*kk、*cc处一阶泰勒展开：********,,1Akkkkcccckkckkckkkccngkkcckc将1Acfkgc在*kk、*cc处一阶泰勒展开：*********,,kkkkccccckcckccckkccfkkkkc写成矩阵形式：**kkkBccc，其中**110AngBcfk⇒*****kkccfkcccc，***1Acckngkkkk令*ccc⇒****1cccfkkk均衡时，**ckcckk⇒**11Acngfk⇒*2*10Acngfk⇒*2*1142AAcngngfk由于0⇒*2*1142AAcngngfk3.劳动力驱动科技进步_RomerModel3.1基本假设消费者总效用函数：1011tCtedt；预算约束条件：CKY；昀终消费品生产函数：10AYYkidiH；科技进步：AAAH；总人口：AYHHH，人口增长率为0。3.2昀终消费品生产厂商（求出ki的价格-需求函数）令昀终消费品价格为1。11YYiHkiki（i为ki的价格）【昀终消费品生产厂商利润函数：10AYYYkiikidiHwH】3.3中间品ki生产厂商（拥有技术的价值）令每单位ki生产成本为1。11iYkiiHkiki利润昀大化条件：12110iYHkiki⇒21YkiH⇒1i⇒1111iYkiiH掌握技术的价值：111trsdsYiAtHPedrr3.4均衡方法：YYYwH，HAAAwPH21011AYYYYwkidiHAH（均衡时，所有ki相等）111YHAAAHAwPPAAHr均衡时YHww⇒YrH又有CrC（欧拉方程），CAYgggCCrgC，AAAgHA⇒ArH⇒YAHH又因为AYHHH，所以AHHg【推导欧拉方程】预算约束条件：KtWtrtKtCt，均衡时0Kt1011..0tCtUedtstWtrtKtCt建立汉密尔顿方程：111tCtHtetWtrtKtCt。实现消费者一生效用昀大的充要条件是：0HtCt⇒0tCtet⇒1ttCteCtCtetdtHtdtkt⇒ttrt⇒CtrtCt【推导CAYggg】1YYAkiH⇒1YYAkiH⇒YAYACY⇒CY⇒CYCY所以CAYggg4.投资驱动科技进步_EconomicIntegrationandEndogenousGrowth4.1基本假设消费者总效用函数：1011tCtedt；预算约束条件：CKXY；昀终消费品生产函数：10AYkidiH；科技进步：XA（其中1是常系数，X是研发投入）。4.2昀终消费品生产厂商（求出ki的价格-需求函数）令昀终消费品价格为1。11YiHkiki4.3中间品ki生产厂商（拥有技术的价值）令每单位ki生产成本为1。11ikiiHkiki利润昀大化条件：12110iHkiki⇒21kiH⇒1i⇒1111iYkiiH掌握技术的价值：111trsdsYiAtHPedrr4.4均衡方法：AXPAAXPA⇒211Hr又有CrC（欧拉方程），CAYggg所以，2111Hg5.同等发达国家开放（劳动力驱动&投资驱动）5.1基本假设两国具有完全相同的消费者总效用函数，预算约束条件，生产函数，科技进步路径，总人口。消费者总效用函数：1011tCtedt；预算约束条件：CKY；昀终消费品生产函数：100NSAANNNYYHnidisidi，100SNAASSSYYHsidinidi；总人口：ARHHH，人口增长率为0。5.2昀终消费品生产厂商（求出ni和si在国家N的价格-需求函数）令昀终消费品价格为1。1100AANNNNNYNYSHniinidiHsiisidi。利润昀大化条件：11NNNYNYiHnini11NNSYNYiHsisi5.3中间品ni和si生产厂商（拥有技术的价值）令每单位ni和si生产成本为1。11NNNNNYniniiHnini利润昀大化条件：12110NNNYNniHnini⇒21NYniH⇒1Ni⇒11111NNNNYniniiniH同理，111SNSYnisisiH掌握技术的价值：1121tNSrsdsNAYtniniPedHrr1121SAYPHr5.4均衡5.4.1劳动力驱动科技进步210011NSaNAANNNNSYYYYwHnidisidiAAH【21aaaaaNSNSYninisisiH】有无知识流动所带来的影响①如果没有知识流动，则科技进步：NNAAHA,SSAAHA1121NNNNNNAAAYAAAwPPAHHr均衡时NNYAww⇒YrH又有CrC（欧拉方程），CAYgggCCrgC，AAAgHA⇒ArH⇒YAHH又因为AYHHH，所以AHHg②如果有知识流动，则科技进步：NNSAAHAA,SNSAAHAA1121NNNNNSNSAAAYAAwPPAAAAHHr均衡时NNYAww⇒2YrH又有CrC（欧拉方程），CAYgggCCrgC，2NSAANSAAgHAA⇒2ArH⇒22YAHH又因为AYHHH，所以22AHHg5.4.2投资驱动科技进步科技进步：XA，所以有无知识流动没有影响AXPA⇒2112Hr又有CrC（欧拉方程），CAYggg所以，21121Hg6.非同等发达国家开放（劳动力驱动）_IntegrationamongUnequals6.1基本假设两国具有完全相同的消费者总效用函数，预算约束条件，生产函数，科技进步路径，总人口。消费者总效用函数：1011tCtedt；预算约束条件：CKY；昀终消费品生产函数：100NSAANNNNYYHnidisidi，100SNAASSSSYYHsidinidi。6.2昀终消费品生产厂商（求出ni和si在国家N的价格-需求函数）令昀终消费品价格为1。11NNNNYNYniHnini11NNNNYNYsiHsisi同理，11SSSYniHni，11SSSYsisHsi6.3中间品ni和si生产厂商（拥有技术的价值）令每单位ni和si生产成本为1。11NNNNNNYnininiHnini利润昀大化条件：11210NNNNYNniHnini⇒21NNYniH⇒1Nni⇒21111NNNNNYninininiH同理，211SSYniH，211SSYsiH，211NNYsiH掌握技术的价值：211tNSrsdsNNSAYYtniniPedHHrr211SNSAYYPHHr6.4均衡210011NSaNAANNNNNSYYNYYwHnidisidiAAH【21aaaNNNYnisiH，21aaaSSSYnisiH】有无知识流动所带来的影响①如果没有知识流动，则科技进步：NNNRRAHA,SSSRRAHA，另假设NSRRHH211NNNNNSRAAYYNRAwPPAAHHHr均衡时：NNYRww⇒NSNYYNSArHHAA又因为NSRRHH⇒NSAA⇒2SNYYrHH又有CrC（欧拉方程），CAYgggCCrgC，2NSNSRRARRHHAgHHA⇒2NSRRHHr⇒22NSRRSNYYHHHH又因为NNNRYHHH，SSSRYHHH所以22NSHHNSRRHHg②如果有知识流动，则科技进步：NNNSRAHAA,SSNSRAHAA211NNNSNSNSRAAYYNRAwPPAAAAHHHr均衡时NNYAww⇒NSYYrHH又有CrC（欧拉方程），CAYgggCCrgC，NSNSRRNSAAgHHAA⇒NSRRrHH⇒NSNSYYRRHHHH又因为NNNRYHHH，SSSRYHHH所以NSNSRRHHHHg7.质量阶梯模型_TheQuality-LadderModel7.1基本假设消费者总效用函数：1011tCtedt；预算约束条件：CKXY；昀终消费品生产函数：11NjjYLX，其中0jkkjjkkXqX。【又假设jjkjjkXqX，即只有品质昀好的中间品可以买到⇒11jjNkjkjYLqX】7.2昀终消费品生产厂商令昀终消费品价格为1。11jjjjkjkjkjkYLqXX7.3中间品jjkk生产厂商令每单位jjkk生产成本为1。11jjjjjjkjkjkjkjkjkXLqXX利润昀大化条件：21110jjjjjkkjkjkLqXX⇒211kjjjkXLq⇒1jjk⇒21111kjjjjjkjkjkXLq掌握技术的价值：01jkjkjjjjjTrTjkrtjkjkVedter【jjkT表示技术的存活时间】令jjk表示该技术在某一时间被替代的概率，在任何时候相等，G表示技术存活时间小于的概率，gG为的概率。技术在时刻该技术被替代的概率：1jjkgGG。解常微分方程得：1jkjGe⇒jjjkge。掌握技术的期望价值：0001jkjkjjjjjjjjjjkjkrtrjkjkjkjkjkEVeedtdeedrr【贝尔曼方程推导】由上式推出rttVted⇒rtrtrttVtedeed⇒rtrrtrtrtttVtreedeeredt⇒VrV（贝尔曼方程）7.4研发技术的收益（解出r-𝛌的表达式）令研发技术jjkk的投入为jjkZ【jjjkjkjZk，其中jjkZ其他人研发该技术的投入，jk服从泊松分布，11kjjkq，均衡时Z相等，】研发新技术的期望收益：111111jjjjjjjjjjkjkjjkjkjkjkjkjkjkEVZEVZZkEV期望收益昀大化（市场自由进入条件）：1110jjjjkjjkjkkEVZ⇒1211111kjjjjkLqkr又因为11kjjkq⇒2111jjkrL⇒211rL（r-𝛌