高级宏观经济学数学附录

1数学训练的重要性在于它可以使各种关系的表达和经济学的推理变得更加简捷、严谨和清晰。——阿尔弗里德.马歇尔21、矩阵代数2、微积分3一、矩阵代数1、特征值和特征向量令A是n×n方阵，v是非零的n维向量，a是纯量（实数或复数），使得Av=av，则称a是A的特征值，v是A对应于特征值的特征向量。上式可写成：(A-aI)v=0,如果想要v不为零，则（A-aI)的行列式必为零，即det(A-aI)=0。该式被称为特征方程。特征方程的解就是A的特征值，每一个特征值都确定一个特征向量。42、矩阵的对角化将矩阵A的特征向量组成一个矩阵V（特征向量矩阵），将A的特征值组成一个对角矩阵D，则：V-1AV=D3、结论第一，如果所有的特征值都不相同，那么特征向量矩阵是非奇异的，即det(V)≠0。第二，特征值对角矩阵的行列式与迹（主对角线上各元素之和）分别等于原始矩阵的行列式与迹。5概念检验已知矩阵0.0610.0040A计算该矩阵的特征值、特征向量、对角矩阵、特征向量矩阵及其逆矩阵。6212()00.061det()00.0040.060.00400.10.040.1000.04AaIvaAaIaaaaaD构造：特征多项式：特征值：特征值对角矩阵：71111211121112112()00.060.1100.0040.10.0400.0040.1010.0410.1110.040.1AaIvvvvvvvvvV每个特征值对应一个特征向量将其中一个标准化为1同理可计算出v2特征向量矩阵8111122122110.140.10.04(1)0.1(1)0.0411(1)1(1)10.110.0410.1/0.141/0.140.04/0.141/0.14VadjVVVadjVV特征向量矩阵的逆矩阵特征向量矩阵的余子式矩阵伴随矩阵等于余子式矩阵的转置矩阵9二、微积分中的一些有用结论1、隐函数法则当f(x1,x2)=0时，隐含着x2是x1的一个函数，隐函数定理用来计算x2对x1的导数：21211122(,)/(,)/dxfxxxdxfxxx快速问答：下式中x2对x1的导数等于多少？212310xx102、泰勒定理令f（x）是一元函数。泰勒定理认为围绕点x*的函数的近似式为：212!f()(*)(*)(*)(*)(*)xfxfxxxfxxxf(x1,x2)围绕(x1*,x2*)的线性近似为：12****12121122(,)(,)()()ffxxfxxfxxxxxx泰勒定理可用于将非线性函数进行线性近似。113、罗必塔法则：用于计算0/0和∞/∞不定型。()()()()**lim()lim()fxfxgxgxxxxx分部积分211212vdvvvvdv4、微分()()dfxfxdx1122122112();()()vvtvvtdvvvdvvdv12概念检验：计算积分ttedt(1)ttttttedttdeteedtet解答135、微积分的基本原理对原函数F(t)微分得到导数f(t)。()()FtftctFdttf)()(()()()()bbaaftdtFtFbFa)()())((tfdttfdtdctFdtd不定积分定积分积分是微分的逆过程。146、积分的微分法则[()][()]()()ftdtFtFtfttt(,,)(,)baFabcfctdt不定积分对积分变量t的导数就是积分函数自身。对定积分微分令F(a,b,c)为描述f(c,t)的定积分的函数，其中a和b分别是积分的下限和上限，c是一个参数。[(,)](,)bbcaacfctdtfctdtc定积分对的导数：[(,)](,)[(,)](,)babafctdtfcbbfctdtfcaa定积分对上限的导数：定积分对下限的导数：对不定积分的微分15对定积分微分的莱布尼兹法则()()()()()(,)()(,)(,)()(,)()bcacbccacabcFcfctdtdFcfctdtfcbbcfcaacdc如果和是的函数：莱布尼兹法则：16微分方程是研究动态经济学的基本工具。通过计算微分方程来分析变量的具体时间路径，以及能否收敛于均衡。17一、导论变量为导数的方程称为微分方程。如果只有一个自变量，称为常微分方程（ODE）。常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。宏观经济学使用的ODE都是对时间的导数。例：若x(t)是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通过变量y而依赖于时间t,即t不独立出现）。若x(t)＝0，方程被称为齐次的。120aytaytxt18微分方程的解法求解微分方程的目的在于找到变量的变化特征。第一种解法：图解法。只能用于自控方程。第二种解法：解析法。可以找到精确的解，只能用于线性函数。第三种解法：数值分析。使用现存软件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。19二、一阶常微分方程的解法1、图解法。例1：一阶线性自控常微分方程：其中a和x是常数且大于0。以y为横轴，以为纵轴。由于是y对时间的导数，因此，为正时，意味着y随着时间的变化而增加；为负则减少。0ytaytxtyyyyy20图形为直线。在纵轴的截距为-x，在横轴的截距为-x/a。在y*点，＝0，即y不会随时间而变化，y*称为y的稳态值。当yy*,0,y随时间而减少。反之则增加。练习：当a0的动态。yyy*yy当直线的斜率为负时方程是稳定的：无论初始值y(0)在何处，y(t)都将回到y*。稳态值21例2：非线性函数的动态。微分方程：其中s、α和δ都是正常数，且α1。()()ytsytytyyty*0当时，y=0；0yt1/(1)*(/)yys因此，方程有两个稳态。稳态0是不稳定的，稳态y*是稳定的。22微分方程稳定性总结对于微分方程：当时，可以找出稳态值y*。若，即函数在稳态处的斜率为正，则y是局部不稳定的。若，即函数在稳态处的斜率为负，则y是局部稳定的。yfyt0y0*yyyy0*yyyy232、解析解常系数一阶线性微分方程：求解步骤：第一：把所有涉及y及其导数的项放在方程的一边，把其余项放在方程的另一边；第二：两边同乘以eat并积分；第三：计算出y(t)。()()0ytaytxt24练习：求解微分方程例1：解答：移项、在两边同乘以e-t并积分：可以解出通解：y(t)=-1+bet。要想得到特解，需要知道边界条件。例2：已知人口增长率为n，计算人口数量的动态变化。解答：L(t)=L(0)ent()()10ytyttteytytdtedt()/()LtLtn25三、线性常微分方程系统1111122112211222221122()()()...()()()()()...()()...()()()...()()nnnnnnnnnnnODEytaytaytaytxtytaytaytaytxtytaytaytaytxt一阶线性系统：111121112212222212()...()()()...()().....................()...()()nnnnnnnnnytaaaytxtytaaaytxtytaaaytxt矩阵形式：26线性常微分方程系统的求解n个微分方程组成的系统：其中，、y(t)和x(t)是n维列向量，A是常系数的n×n方阵。微分方程系统解法：第一种：相位图。简单地提供了定性解，但只适用于2×2系统以及有稳态地自控方程；第二种：解析解。第三种：数值法。用时间消去法。()()()ytAytxt()yt271、相位图（1）对角系统：以y1为横轴，以y2为纵轴，平面中的每一点都代表了系统（y1,y2）在任一给定时刻的位置。相位图的目标：把由两个微分方程所隐含的动态转换为一个描述了经济随时间的定性行为的箭头系统。11112222()()()()ytaytytayt28情形1：a110且a220：系统不稳定。情形2：a110且a220：系统稳定。情形3：a110且a220：鞍点路径稳定。y1y2鞍点路径稳定的相位图10y20y稳定臂不稳定臂原点是稳态。鞍点路径既不是稳定又不是不稳定的。系统只有从横轴开始才会回到稳态。结论：对角系统的稳定性依赖于系数的符号。若两者都为正，系统不稳定；若两者都为负，系统稳定；若两者异号，系统是鞍点路径稳定。稳态29（2）非对角系统初始条件为y1(0)=1和终端条件的轨迹是直线y2=0.06y1+1.4在直线的下方，y20.06y1+1.4，，即在该区域y1递增；同理，在直线的上方区域y1递减。的轨迹是直线y1=10在直线的左边，，y2递减；右边递增。11221()0.06()()1.4()0.004()0.04ytytytytyt0.061()0limtteyt10y20y10y20y30具有鞍点路径稳定性的非对角系统的相位图y1y210y1020y稳定臂不稳定臂稳态31非对角系统稳定性：结论1、系数矩阵的两个特征值是正实数，系统不稳定。2、两个特征值是负实数，系统稳定。3、两个特征值是实数但异号，系统是鞍点路径稳定。4、两个特征值是有负实部的复数，系统振荡收敛。5、两个特征值是有正实部的复数，系统振荡且不收敛。6、两个特征值是有零实部的复数，系统轨迹是环绕稳态运动的椭圆。7、两个特征值相等，解为y(t)=(b1+b2t)eat32（3）非线性系统解答：的轨迹为：c=k0.3;轨迹为k=10。将k和c的动态结合到一起，系统的稳态是两条轨迹的交点。系统是鞍点路径稳定的。0.30.7()()()()()0.3()0.06ktktctctctkt0k0c33kc0k0c稳定臂不稳定臂具有鞍点路径稳定的非线性系统的相位图342、解析解（1）线性齐次系统()()ytAyty(t)是一个n×1列向量，A是n×n常系数矩阵。解法：假设z(t)=V-1y(t)，则1()()ztVyt1111()()()()()ztVytVAytVAVVytDzt其中，V是特征向量矩阵，D是特征值的对角矩阵。先解出z(t)，然后可解出y(t)。35（2）线性非齐次系统()()()ytAytxt解法与其次系统相同。练习：求解以下线性系统的解。1122()()0.0611.4()()0.00400.04ytytytyt36解题思路0.1000.4D110.040.1V10.1/0.141/0.140.04/0.141/0.14V111zVyzVyDzVx111220.101.400.40.04zzVzz11220.110/140.049.6/14zzzz0.0410.042()109()20.9ttyteyte在z前乘以V可以得到原变量的解：时间ty1(t)110y1(t)的解3738一、无约束极大值一元函数在闭区间