教材回归1导数的概念(1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率函数=f

考纲定位1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．教材回归1．导数的概念(1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率函数＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.(2)f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.fx2－fx1x2－x1ΔyΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0ΔyΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx(3)导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y－y0＝f_′(x0)(x－x0)．limΔx→0fx＋Δx－fxΔx3．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf_′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f_′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf_′(x)＝cosxf(x)＝cosxf_′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a0且a≠1)f_′(x)＝axlna(a0且a≠1)f(x)＝exf_′(x)＝exf(x)＝logax(a0且a≠1).f(x)＝lnx.f′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)f′(x)＝1x4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f_′(x)g(x)＋__f(x)g′(x)；(3)＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__f_′(u)u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的积．fxgx′f′xgx－fxg′x[gx]2答案：C三基强化1．(2011年武汉2月调研)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，且f′(0)0，若对于任意实数都有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为()A．3B.52C．2D.322．(2011年蚌埠市包集中学高三暑期阶段测试)已知函数f(x)的图象过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得最大值－5时，x的值应为()A．－1B．0C．1D．±1解析：易知f(x)＝x4－2x2－5，f′(x)＝0时x＝0或x＝±1，只有f(0)＝－5，选B.答案：B答案：A3．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．不确定解析：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，k1＝cos0＝1，k2＝cosπ2＝0，∴k1k2.答案：D答案：D5．(2011年潍坊市高三五校联合考试)f(x)＝13x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上有反函数，则a的范围是()A．(－∞，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：因为f(x)＝13x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上有反函数，所以f(x)在该区间[－1,2]上单调，则f′(x)＝x2－2x＋a≥0在[－1,2]上恒成立，得a≥1.或在f′(x)＝x2－2x＋a≤0上恒成立，得a≤－3.考点一利用导数的定义求函数的导数(1)根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；③得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx，简记作：一差、二比、三极限．(2)函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．例1用定义法求下列函数的导数．(1)y＝x2；(2)y＝4x2.【解】(1)因为ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝x＋Δx2－x2Δx＝x2＋2x·Δx＋Δx2－x2Δx＝2x＋Δx，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.(2)Δy＝4x＋Δx2－4x2＝－4Δx2x＋Δxx2x＋Δx2，ΔyΔx＝－4·2x＋Δxx2x＋Δx2，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－4·2x＋Δxx2x＋Δx2＝－8x3.变式迁移1用导数的定义求函数y＝1x在x＝1处的导数．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝1－1－Δx1＋1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋1＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝－11＋1＋Δx1＋Δx.∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝－12.考点二导数的运算1．运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果．2．对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便．例2求下列函数的导数．(1)y＝2x3＋x－6；(2)y＝x＋x5＋sinxx2；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝－sinx21－2cos2x4；(5)y＝11－x＋11＋x.【解】(1)y′＝6x2＋1.(3)解法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.解法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.(4)∵y＝－sinx2－cosx2＝12sinx，∴y′＝12sinx′＝12(sinx)′＝12cosx.(5)y＝11－x＋11＋x＝1＋x＋1－x1－x1＋x＝21－x，∴y′＝21－x′＝－21－x′1－x2＝21－x2.变式迁移2求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝lnx′x2＋1－lnx·x2＋1′x2＋12＝1x·x2＋1－lnx·2xx2＋12＝x2＋1－2x2·lnxxx2＋12.考点三导数的几何意义1．函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．例3已知曲线方程为y＝x2，(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．【分析】(1)A在曲线上，即求在A点的切线方程．(2)B不在曲线上，设出切点求切线方程．【解】(1)∵A在曲线y＝x2上，∴过A与曲线y＝x2相切的直线只有一条，且A为切点．由y＝x2，得y′＝2x，∴y′|x＝2＝4，因此所求直线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)解法一：设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，由y＝kx＋5－3k，y＝x2得x2－kx＋3k－5＝0，Δ＝k2－4(3k－5)＝0.整理得：(k－2)(k－10)＝0，∴k＝2或k＝10.所求的直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.解法二：设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2得y′＝2x，∴y′|x＝x0＝2x0，由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝x02代入上式整理得：x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)，(5,25)，∴所求直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.解：(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.变式迁移3已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，13x03＋43)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x02，∴切线方程为y－(13x03＋43)＝x02(x－x0)，即y＝x02·x－23x03＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x02－23x03＋43，即x03－3x02＋4＝0，∴x03＋x02－4x02＋4＝0，∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.考情分析本节内容重点考查导数的几何意义及导数的运算，其形式多为选择、填空题，而难度较小．考场样题[2011·江西卷]曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.【解析】y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1.故选A.答案：A易错盘点1．切点确认不准导致漏解纠错训练1求曲线y＝3x－x3过点A(2，－2)的切线方程．【解】设切点为P(x0，y0)，∵y′＝3－3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝x0＝3－3x02，∴切线方程y－y0＝(3－3x02)(x－x0)，又切线过点A(2，－2)，∴－2－y0＝(3－3x02)(2－x0)，∴又(x0，y0)在曲线上，∴y0＝3x0－x03，故有－2－3x0＋x03＝(3－3x02)(2－x0)，整理得：2x03－6x02＋8＝0，∴2x03－4x02－2(x02－4)＝0，∴(x0－2)2(x0＋1)＝0，∴x0＝2或x0＝－1，∴k＝－9或k＝0，∴所求切线方程为y＋2＝－9(x－2)或y＝－2，即9x＋y－16＝0或y＝－2.2．导数的几何意义不明致误纠错训练2已知函数f(x)＝x＋tx(t0)和点P(1,0)，过点P作曲线y＝f(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M(x1，y1)、N(x2，y2)．(1)求证：x1、x2为关于x的方程x2＋2tx－t＝0的两根；(2)设|MN|＝g(t)，求函数g(t)的表达式．【解析】(1)由题意，可知y1＝x1＋tx1，y2＝x2＋tx2.∵f′(x)＝1－tx2，∴切线PM的方程y－(x1＋tx1)＝(1－tx12)(x－x1)．又∵切线PM过点P(1,0)，∴0－(x1＋tx1)＝(1－tx12)(1－x1)，即x12＋2tx1－t＝0，①同理，由切线PN也过点P(1,0)，得x22＋2tx2－t