第2章-有限差分法基础

1《材料成形模拟技术》讲义第2章有限差分法基础华中科技大学周建新Tel:027-87541922Email:[e-mail]2主要内容1、差分原理及逼近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理3第一节差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）1．差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为xxfxxfxydxdyxx)()(limlim00dxdy是函数对自变量的导数，又称微商；y、x分别称为函数及自变量的差分，xy为函数对自变量的差商。4第一节差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）向前差分)()(xfxxfy)()(xxfxfy)21()21(xxfxxfy向后差分中心差分x〉05第一节差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。y2以向前差分为例，有)()(2)2()]()([)]()2([)()()]()([)(2xfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxfxxfyy6第一节差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶前差分为)]}()(([{)]}([{)]([)(21xfxxfyyyynnn7第一节差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为xxfxxfxy)()(一阶向后差商为xxxfxfxy)()(8第一节差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）一阶中心差商为xxxfxxfxy)21()21(或xxxfxxfxy2)()(9第一节差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）二阶差商多取中心式，即222)()()(2)(xxxfxfxxfxy当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。10第一节差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为,),,(),,(xyxfyxxfxf,),,(),,(yyxfyyxfyf11第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（1/4）由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。现将函数在x的邻域作Taylor展开：))(()(!4)()(!3)()(!2)()()()(5432xOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV)()())(()(!4)()(!3)(!2)()()()(432xOxfxOxxfxxfxxfxfxxfxxfIV2．逼近误差12第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（2/4）)()()()(),)(()(!4)()(!3)()(!2)()()()(5432xOxfxxxfxfxOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV一阶向后差商也具有一阶精度。13第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（3/4）将)(xxf与)(xxf的Taylor展开式相减可得))(()(2)()(2xOxfxxxfxxf可见一阶中心差商具有二阶精度。14第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（4/4）将)(xxf与)(xxf的Taylor展开式相加可得))(()()()(2)(22xOxfxxxfxfxxf这说明二阶中心差商的精度也为二阶15第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3）2ix在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的1ix1iixx和，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox2ix1ixix1ix2ix2ix1ixix1ix非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商11)()(iiiixxxfxf一阶中心差商11)()(iiiiiixxxxfxxf16第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）均匀和非均匀网格实例117第一节差分原理及逼近误差/非均匀步长（3/3）均匀和非均匀网格实例218第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）0xt从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。19,2,1,0,0ixixxi,2,1,0,ntntn差分网格第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）20若时间导数用一阶向前差商近似代替，即ttninini1空间导数用一阶中心差商近似代替，即xxninini211则在),(nitx点的对流方程就可近似地写作02111xtnininini第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）21第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为,)(tO用空间中心差商代替空间导数时的误差为))((2xO，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是))(,())(()(22xtOxOtORni这也可由Taylor展开得到。因为))(,()(!31212),(),(),(),(223322xtOxtxtxtttxtxxtxxttxttxninininininininini22第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为)()0,(0xxxt这里)(x为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：)(020111iininininixxt初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。23第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）)()(20111iininininixxtFTCS格式)()(011iininininixxtFTFS格式)()(011iininininixxtFTBS格式24第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS差分格式25第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）FTCS格式的截断误差为))(,(2xtORniFTFS和FTBS格式的截断误差为),(xtORni3种格式对t都有一阶精度。26第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）一般说来，若微分方程为fD)(其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为fD)(其中D是差分算子，则截断误差为)()(DDR这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解。如果当x、0t时，差分方程的截断误差的某种范数||||R也趋近于零，即0||||lim00Rtx则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当x、0t时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。27第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）若微分问题的定解条件为gB)(其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为gB)(其中B是差分算子，则截断误差为)()(BBr28第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（3/3）只有方程相容，定解条件也相容，即0||||lim00Rtx和0||||lim00rtx整个问题才相容。无条件相容条件相容以上3种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式。29第三节收敛性与稳定性/收敛性（1/6）所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。然而，方程（无论是微分方程或是差分方程）是物理问题的数学表达形式，其目的是为了借助数学的手段来求问题的解。因此，除了必须要求差分格式能逼近微分方程和定解条件（表明这两种数学表达方法在形式上是一致的）外，还进一步要求差分格式的解（精确解）与微分方程定解问题的解（精确解）是一致的（表明这两种数学表达方法的最终结果是一致的）。即当步长趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。我们称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。更明确地说，对差分网格上的任意结点),(nitx，也是微分问题定解区域上的一固定点，设差分格式在此点ni的解为,相应的微分问题的解为),(nitx，二者之差为),(nininitxe称为离散化误差。如果当x、0t时，离散化误差的某种范数||||e趋近于零，即0||||lim00etx则说明此差分格式是收敛的，即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解，否则不收敛。与相容性类似，收敛又分为有条件收敛和无条件收敛。x、30第三节收敛性与稳定性/收敛性（2/6）31第三节收敛性与稳定性/收敛性（3/6）相容性不一定能保证收敛性，那么对于一定的差分格式，其解能否收敛到相应微分问题的解？答案是差分格式的解收敛于微分问题的解是可能的。至于某给定格式是否收敛，则要按具体问题予以证明。下面以一个差分格式为例，讨论其收敛性：微分问题)()0,(,0xxxt的FTBS格式为)(,0011iininininixxt在某结点（xi,tn）微分问题的解为),(nitx，差分格式的解为0i，则离散化误差为),(nininitxe32第三节收敛性与稳定性/收敛性（4/6）按照截断误差的分析知道）（txOxtxxtxttxttxnininini,),(),(),(),(以FTBS格式中的第一个方程减去上式得）（txOxeeteenininini,11或写成）（txOtextexttxOteexteenininininini,)1(),()(1111xt若条件0和成立，即10xt，则),(maxmax)1(),()1(11txOtextexttxOtextexteniiniinin