连续介质力学第二章

第二章张量分析ifxif,if偏导数的记法12哈密顿算子iieur3梯度fgradf2.1基础知识则梯度为：ffffijkxyzrrr标量的梯度：标量函数：()ffrr展开后有：112233fefefeururur原式iigradfefur()()iijjgradaaeaerrurur()()iijjeaeurur()()ijijaeeurur矢量的梯度：yxzyxzyxzaaaxxxaaayyyaaazzz左梯度aaradgjjiiaee,ijijaeejiijeeajiijxaa其中：iijjaxee右梯度两者关系()Taa左梯度右梯度332313322212312111xaxaxaxaxaxaxaxaxaa写成矩阵形式为：张量的梯度：ijkijkTeeeiijkjkTeee设T为任意二阶张量它的左梯度gradT定义为：TgradTT的右梯度定义为：jkjkiiTeeegradTTijkjkiTeeeTT一般地4散度矢量场的散度矢量场的左散度定义为：divaarr112233aaayxzaaaxyzijijaiia()()iijjeaeurur原式右散度表示为：aaivdaaivdjjiiaeeiiiiijijaxaxa332211xaxaxaaaivddiv显然今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别()()kkijijdiveTeeTTurururiijjTeur112233iiiiiiTeTeTeururur张量的散度kijkijTeurTTdiv关于二阶张量场的左散度定义为：PTT1132233333()TTTeur()()xxyxzxxyyyzyTTTiTTTjxyzxyzrr()xzyzzzTTTkxyzr展开后有：11122133111122223322()()TTTeTTTeurur原式关于二阶张量场的右散度定义为：PTTTTivdTTivdjjikkiTeeekjkiijxTekikixTeikikTeTTivddiv一般地，，当T为对称张量的时候，两者相等5旋度curlaa()()kkiieae112233()()()kikikikikikieaeeaeeae原式展开后有：123123123xxxaaaeeekijkijeae＝矢量场的旋度：左旋度：231233213211321331232()()ieaeaeeaeae12312213213()eaeae233213113212213()()()aaeaaeaaeyyxxzzaaaaaayzzxxy（-）i（-）j（-）k右旋度：iijjaurlceeaaijijxaeekijjikxaeeijkijkeaea.张量场的旋度设T为任意二阶张量，则它的左旋度定义为：TTcurlkiikjjTeeekpikjjipTeeekppkeeTikjjippkTeT其中：右旋度定义为：TTurlcjjkiikTeeekiikjkjpTeeepiipeeTikjkjpipTeT其中：小结：iieur哈密顿算子梯度iigradffefur散度iidivaaarr旋度curlaa2ffiif展开后有：()()iijjefe原式()ijijf112233fff222222fffxyz2.2Laplace算子公式：2.3物质导数ffxfyfztxtytzt123()()()fxyzfffttttiixffttiifVftfVft(,())fftrt若DfffrDttrt则：()()()DVDtt2.4积分定理1Gauss定理(coscoscos)()SVPQRPQRrdsdxdydzxyz3r1r2r1dS2dS3dS有向面积：123231312dSdrdrdSdrdrdSdrdr()aP、Q、R根据Gauss定理有：左边112233()SananandSiiSandSSandSSadS右边112233()VaaadViiVadVVadVSVadSadV2Stokes定理[()()()]CSPdxQdyRdzRQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxy()aP、Q、R()dldxdydz、、根据Stokes定理有：左边112233CadladladliiCadlCadl233223311331122112[()()()]Saadldlaadldlaadldl右边()SadS()CSadladS证明()divabbcurlaacurlb2.5曲线坐标基矢量度量张量曲线坐标1设空间中任一点P，其位置可用矢径P表示。在曲线坐标系中，指标可为上标或下标。在斜角坐标系中，P为的函数，即P也可用另外三个变量，，来表示，即这种坐标系记为。这两组变量和表示同一空间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：ixixixxxxPPP321,,'1x'2x'3x321'''',,ixxxxPPP'ix321,,xxx321''',,xxx'iiixxx3,2,1,'ii若是的线性函数，则也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：'ix'ix''''iiiiiiixxxxAx这里为变换系数，它是常数。iiA'若不是的线性函数，则称为曲线坐标。ix'ix'ix在曲线坐标系中，若雅可比(Jacobi)行列式J不为零，即'ix0det''iiiixxAJ则坐标变换具有逆变换，即有iiixxx''连续介质力学中最常用的正交曲线坐标系，是柱面坐标系和球面坐标系。现叙述如下。柱面坐标系设直角坐标系为曲线坐标系为则式的具体形式取为：'iiixxx321,,:xxxxizxxrxxi321'''',,:cos11''rxxxisin22'rxxxizxxxi33'其中0r20z由此可见，不是的线性函数，故属于曲线坐标系。这种坐标变换的雅可比行列式为'ix'ixrrrzxxrxzxxrxzxxrxxxJii1000cossin0sincos333222111'除外，，故有逆变换的具体形式如下：0r0J22211'xxrx1212'xxtgxzx'3由此可得坐标曲面：(i)(常数)为以z轴为公共轴的圆柱面(当时，即为z轴)；(ii)(常数)为通过z轴的平面；(iii)(常数)为垂直于z轴的平面；11'Crx01C22'Cx33'Czx(i)和的交线(z线)是直线；(ii)和的交线(r线)是直线；(iii)和的交线(线)是圆。11'Crx22'Cx22'Cx33'Czx11'Crx33'Czx这种坐标系称为柱面坐标系和坐标曲线：球面坐标系'iiixxx设直角坐标系为，曲线坐标系则式的具体形式取为：,,,:321xxxxi321'''',,:xxrxxicossin1rxsinsin2rxcos3rx0r200其中由此可见，不是的线性函数，故属于曲线坐标系，这种坐标变换的雅可比行列式为ix'ix'ix2sinr111222333xxxrxxxJrxxxrsincoscoscossinsinsinsincossinsincoscossin0rrrrr除，，外，，故有逆变换的具体形式如下：0r00J2322211'xxxrx3222112'xxxtgx1213'xxtgx由此可得坐标曲面：(i)(常数)为中心在原点的球面(当时，即为原点)；(ii)(常数)为以原点为顶点的圆锥(当或时变为直线，当时为面)；11'Crx01C22'Cx02C02CC2221xx(iii)(常数)为通过轴的平面；33'Cx3x和坐标曲线：(i)和的交线(线)是圆；(ii)和的交线(r线)是直线；(iii)和的交线(线)是半圆。这种坐标系称为球面坐标系。1Cr2C2CC31Cr3C2基矢量·度量张量给定曲线坐标之后，过空间任意一点沿每一族坐标曲线可以得到一个切矢量：'iixPg'ixiy取为iiyPgii，则在斜角坐标系中，设其协变基矢量为iiiixiPii由于是常数，故有iiiiijiyyxPig对于一个矢量a可有两种类型的分量和，设其对应的基矢量为和，则iaiaigigiiiiaagga由的定义可知，下列混合积等式成立：ijkeijkkjikjikjiegggggggggijkkjikjikjieggggggggg这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为和。由此定义可知ijkijk321123ggg321123ggg对于矢量，则有0ajijijjiiaaaaggggaaa2jijijjiiaaaaggggjijijjiiaaaagggg0jiaa令jiijgggjiijgggijjijiggggg它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量考虑到矢量a的任意性jijiijggg可知：基矢量与是正交的，它们称为互逆基矢量igig互逆基矢量间具有下列关系：321321gggggg321132gggggg321213gggggg由于11gggggjkikjiijggjkikkjikgggg11ijkjikgg故知和互为逆阵。因为它们均为正定矩阵，故行列式ijgijg0321333231232221131211ijkkjiijegggggggggggggg01321333231232221131211ijkkjiijegggggggggggggg可以证明这样的等式：2321gggijgg爱丁顿张量可以写成下列形式：kjikjiijkeeeggggkjikjiijkeeeg1ggg在直角坐标系下，，故有1gkjiijkijkeee在曲