2018八年级上《全等三角形》常见辅助线作法总结

教育无他，唯爱与关怀！1EDFCBADCBA2018年初二数学全等三角形常用辅助线作法一、倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。1、基本模型：（1）△ABC中AD是BC边中线.DABCEDABC方法1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.方法2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE.FEDCBANDCBAM（法二）（法三）方法3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD经典例题例1、（核心母题）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.教育无他，唯爱与关怀！2例3、如图，在△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA变式练习1.已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC.2.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。3.已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。4.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。FECABDFEDABC第1题图ABFDEC教育无他，唯爱与关怀！3二、截长补短法截长补短法：若遇到证明线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。例1、（核心母题）如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，交CD于点E，求证：AB=AD+BC．例2、如图，ABC是等边三角形，120BDC，求证：ADBDCD.例3、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。ABCD教育无他，唯爱与关怀！4变式练习1、已知四边形ABCD中，ABBC，60ABC°，P为四边形ABCD的对角线BD上一点，且120APD，求证：PAPDPCBD2、如图，在ABC中，60ABC，AD，CE分别为ACBBAC,的平分线，求证：AC=AE+CD3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证：BD+DC=AB4、如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－21∠BDC，求证：AB=BD＋DC。PBDCAABCDEO教育无他，唯爱与关怀！5三、角平分线、中垂线法角平分线、中垂线法：角平分线上点向两边作垂线段.以角平分线、中垂线为对称轴利用“轴对称性”构造全等三角形。例1、（核心母题）在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．CDBPA例2、如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．例3、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．教育无他，唯爱与关怀！6变式练习1、如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由．DPCBA2、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E、AD⊥BE于D，求证：（1）AC-BE=AE；（2）AC=2BD．3、如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线．FGEDCBA四、角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。例1、（核心母题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.教育无他，唯爱与关怀！7例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，（1）求证：EF=BE+FD（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。例3、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°求证：AD平分∠CDE.变式练习1、如图在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAQ=45°，AH⊥EF，求证：AH=AB.教育无他，唯爱与关怀！82、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：①∠MAN=45②ABCCMN2③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.3、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长是AB的2倍，求∠KDN的度数？4、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．