2012年上海高考数学理科试题及答案

12012年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：ii13=(i为虚数单位).2.若集合}012|{xxA，}21|{xxB，则BA=.3.函数1sincos2)(xxxf的值域是.4.若)1,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示).5.在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于.6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则)(lim21nnVVV.7.已知函数||)(axexf(a为常数).若)(xf在区间[1,+)上是增函数，则a的取值范围是.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.9.已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f.若2)()(xfxg，则)1(g.10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6.若将l的极坐标方程写成)(f的形式，则)(f.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).12.在平行四边形ABCD中，∠A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是.13.已知函数)(xfy的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(21,5)，C(1,0).函数)10()(xxxfy的图像与x轴围成的图形的面积为.xOMl214.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则()(A)3,2cb.(B)3,2cb.(C)1,2cb.(D)1,2cb.16.在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是()(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.17.设443211010xxxx，5510x.随机变量1取值1x、2x、3x、4x、5x的概率均为0.2，随机变量2取值221xx、232xx、243xx、254xx、215xx的概率也为0.2.若记1D、2D分别为1、2的方差，则()(A)1D2D.(B)1D=2D.(C)1D2D.(D)1D与2D的大小关系与1x、2x、3x、4x的取值有关.18.设251sinnnna，nnaaaS21.在10021,,,SSS中，正数的个数是()(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)19.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：(1)三角形PCD的面积；(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)ABCDABCDPE320.已知函数)1lg()(xxf.(1)若1)()21(0xfxf，求x的取值范围；(6分)(2)若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg，求函数)(xgy])2,1[(x的反函数.(8分)21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7.(1)当5.0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)xOyPA422.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:221yxC.(1)过1C的左顶点引1C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(4分)(2)设斜率为1的直线l交1C于P、Q两点，若l与圆122yx相切，求证：OP⊥OQ；(6分)(3)设椭圆14:222yxC.若M、N分别是1C、2C上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.(6分)523.对于数集},,,,1{21nxxxX，其中nxxx210，2n，定义向量集},),,(|{XtXstsaaY.若对于任意Ya1，存在Ya2，使得021aa，则称X具有性质P.例如}2,1,1{X具有性质P.(1)若x2，且},2,1,1{x，求x的值；(4分)(2)若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；(6分)(3)若X具有性质P，且x1=1，x2=q(q为常数)，求有穷数列nxxx,,,21的通项公式.(8分)62012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：ii13=1－2i(i为虚数单位).[解析]iiiiiiii212413)1)(1()1)(3(13.2.若集合}012|{xxA，}21|{xxB，则BA=)3,(21.[解析]),(21A，)3,1(B，A∩B=)3,(21.3.函数1sincos2)(xxxf的值域是],[2325.[解析]xxxxf2sin2cossin2)(21],[2325.4.若)1,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2(结果用反三角函数值表示).[解析]方向向量)2,1(d，所以2lk，倾斜角=arctan2.5.在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于－160.[解析]展开式通项rrrrrrrrrrxCxxCT2666612)1(2)1(，令6－2r=0，得r=3，故常数项为1602336C.6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则)(lim21nnVVV78.[解析]易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以78121811)(limVnnVVV.7.已知函数||)(axexf(a为常数).若)(xf在区间[1,+)上是增函数，则a的取值范围是(－,1].[解析]令||)(axxg，则)()(xgexf，由于底数1e，故)(xf↑)(xg↑，由)(xg的图像知)(xf在区间[1,+)上是增函数时，a≤1.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为33.[解析]如图，2221ll=2，又2r2=l=2r=1，所以h=3，故体积33231hrV.9.已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f.若2)()(xfxg，则)1(g－1.[解析]2)(xxfy是奇函数，则4]1)1([)1()1(22ff，所以3)1(f，1.10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6.若将l的极坐标方程写成)(f的形式，则)(f)sin(16.[解析])0,2(M的直角坐标也是(2,0)，斜率31k，所以其直角坐标方程为23yx，化为极坐标方程为：2sin3cos，1)sincos(2321，xOMlPOrlhPl2r71)sin(6，)sin(16，即)(f)sin(16.(或)(f)cos(13)11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32(结果用最简分数表示).[解析]设概率p=nk，则27232323CCCn，求k，分三步：①选二人，让他们选择的项目相同，有23C种；②确定上述二人所选择的相同的项目，有13C种；③确定另一人所选的项目，有12C种.所以18121323CCCk，故p=322718.12.在平行四边形ABCD中，∠A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是[2,5].[解析]如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(21,23)，C(25,23).设tCDCNBCBM||||||||[0,1]，则tBM||，tCN2||，所以M(2+2t,23t)，N(25－2t,23)，故ANAM=(2+2t)(25－2t)+23t23=)(6)1(5222tfttt，因为t[0,1]，所以f(t)递减，(ANAM)max=f(0)=5，(ANAM)min=f(1)=2.[评注]当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点：M在B(N在C)和M在C(N在D)，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!13.已知函数)(xfy的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(21,5)，C(1,0).函数)10()(xxxfy的图像与x轴围成的图形的面积为45.[解析]如图1，1,10100,10)(2121xxxxxf，所以1,10100,10)(212212xxxxxxxfy，易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=452521.[评注]对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。14.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是12232cac.[解析]作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE.取BC中点F，连接EF，则EF⊥BC，EF=2，1221BEEFBCSBEC，xyABCDMNxyABC15图1NxyODM15P图2ABCDEADBEC8四面体ABCD的体积123231BESADVcBEC，显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b=22ca，所以12232maxcaVc.[评注]本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大!当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天!二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则(B)(A)3,2cb.(B)3,2cb.(C)1,2cb.(D)1,2cb.[解析]实系数方程虚根成对，所以i21也是一根，所以－b=2，c=1+2=3，选B.16.在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是(C)(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.[解析]由条件结合正弦定理，得222cba，再由余弦定理，得0cos2222abcbaC，所以C