抛物线的焦点弦性质

二、抛物线的焦点弦性质例1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θ(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。xOyABFθ112(7)AFBFpxyoAA`BB`FxOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2pAXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.222111证明：如图，AABBAFBFABMM故以AB为直径的圆与准线相切.XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。12345600023563518049090AFB证明：如图，1=，4=，又14，1，即过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理01ABx当轴时，pppp易得A（，），B（，-），2222224pypx11y-，x；02AB斜率存在时设为k，（k0）p则直线AB方程为y=k（x-）22px2代入抛物线方程y22202yppyppkk22消元得y（）即y22yp1y-；222112224yypxpp1xxOyABF2222212224212222()2220(2244ypxpypmypxmyypmypyypyyppppp12即：　（定值）xx定值）2pABxmymR设方程法二：由题知AB不为，（与x轴平行）xOyABFQPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0,2(),,2(),,2(21pFypQypPQFPF0QFPF0),(),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°。代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，练习(1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB的方程为ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）2222121222224yypsxxsppp（）122syyp(2).若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s0)证明：21122222ypxypx1212122AByypkxxyy相减得11122pAByyxxyy直线方程为（）21121022yyyypxpx令得2112ypx12因为，yy=-2ps代入上式得0xsABs直线必过点（，）lyy2=2pxAMxB过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θxOyABFθ证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=12xxp0190pp20（）时，k不存在，pp易得A（，），B（，-），222pAB=2P=sin9002290tantankyxpx12p（）时，斜率，直线方程为（）22p然后联立方程组用韦达定理得ABxsin思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短12121212121222212121212127)221111222222()()244422()2ppAFXBFXppXXppppAFBFXXXXxxpxxppppppxxxxxxxxpppxxp　　xOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则112AFBFp例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.22221212::,2,220..ABpxmyypxypmypAyByyyp12证明设直线的方程代入得设（x，），（x，）则xC1111ypyppy=，x=-联立得（-，-）x222x121221yyypyy11c211pypyy--y2x22p||BCX轴xyFABCO例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.22221212::,2,220..ABpxmyypxypmypAyByyyp12证明设直线的方程代入得设（x，），（x，）则||BX轴2Cyp（-，），221pCyp即（-，）2221111111212OApyyypkpyxyxOCk||OCOAO且共点，ACO直线过点xyFABCO例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线AB过定点；3.求弦AB中点P的轨迹方程；4.求△AOB面积的最小值；5.求O在AB上的射影M轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；[解答](1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，2211,xykxykOBOA∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2022212221yypypy∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(2)求证：直线AB过定点；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)2121212yypxxyy212yypkAB)(2:1211xxyypyyAB直线21112122yypxyyypxy21211212122yyyypxyyypxy2211214,2pyypxy2122142yypyypxy)2(221pxyypy∴AB过定点T(2p,0).)2,2(2kpkpA同理，以代k得B(2pk2,-2pk).k1)1()1(0220kkpykkpx例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(3)求弦AB中点P的轨迹方程；2)1(1222kkkk2)(200pypx即y02=px0-2p2，∴中点M轨迹方程y2=px-2p2(3)设OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，|)||(||)||(|||212121yypyyOTSSSBOMAOMAOB(4)2214||2pyyp当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(4)求△AOB面积的最小值；(5)法一：设M(x3,y3),则33xykOM33yxkAB)(:3333xxyxyyAB得代入即pxyxyyxyx2)(23333,02223323332pxxpyyxpyy例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.由(1)知，y1y2=-4p2，23323422ppxxpy整理得：x32+y32-2px3=0，∴点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).∴M在以OT为直径的圆上∴点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用(2)的结论.∴∠OMT=90,又OT为定线段法二：∵AB过定点T(2p,0).7.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”，应将其找回。