坐标表示的焦半径公式

圆锥曲线知识提要一．坐标表示的焦半径公式1、椭圆（一类）|PF1|=r1=√(x+c)2+y2由y2=b2−b2x2a2代入整理得r1=√(cax)2+2cx+a2=√(a+ex)2=a+ex,同理，|PF2|=r2=√(x−c)2+y2=⋯=a−ex可以假想点P在y轴右边，r1r2且x0帮助，显然总有r1+r2=2a符合椭圆定义。公式常见应用：（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c（2）椭圆上三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，若x1,x2,x3成等差数列，则到同一个焦点的焦半径rA,rB,rC也成等差数列。（3）定义直线x=∓a2c为椭圆x2a2+y2b2=1的左右准线。由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y)到对应焦点和对应准线的距离之比(r1d1=r2d2=e)总等于离心率e.2.双曲线x2a2−y2b2=1|PF1|=r1=√(x+c)2+y2由y2=b2x2a2−b2代入整理得r1=√(cax)2+2cx+a2=√(a+ex)2=|a+ex|,由双曲线上点|x|≥a,若点P在右支上，r1=ex+a.同理，r2=ex−a.总有r1−r2=2a.若点P在左支上，r1=ex−a.同理，r2=ex+a.总有r2−r1=2a.公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，有x1,x2,x3成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径rA,rB,rC也成等差数列。（2）定义直线x=∓a2c为双曲线x2a2−y2b2=1的左右准线。由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y)到对应焦点和对应准线的距离之比(r1d1=r2d2=e)总等于离心率e.3.抛物线y2=2Px|MF|=r=x+p2公式的应用：抛物线上三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，若x1+x3=2x2，则rA+rC=2rB。二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式1、统一定义：平面上到定点F与定直线l距离之比等于常数e的点轨迹。若0e1,轨迹为椭圆。若e=1，则轨迹为抛物线。若e1，则轨迹为双曲线。圆锥曲线知识提要2.方向角焦半径公式（1）方向角定义如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M的方向角。方向角θ范围(0,2π)将焦准距离统一表示为P。对于椭圆，双曲线P=b2c(要求记忆)（2）公式：r=eP1−ecosθe:离心率，对于椭圆，双曲线，eP=b2a.（3）公式的应用：焦点弦长公式|MN|=rM+rN=eP1−ecosθ−eP1−ecos(θ+π)=2eP1−e2cos2θ说明：（1）焦点弦长公式中，方向角θ以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角：θϵ（0，π2].（2）有对称性θ改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。（3）对于双曲线当1−e2cos2θ=0时，θ所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。若θ较小，使1−e2cos2θ0时，此时公式应表为|MN|=2eP|1−e2cos2θ|，此时焦点弦的两个端点分在两支上。（4）对于抛物线y2=2Px，∵e=1,|MN|=2P1−cos2θ=2P1−sin2θ.θ为焦点弦与对称轴夹角。（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在|MN|=2P1−cos2θ中，令θ=900，得通径的统一表示2eP.对于椭圆，双曲线:2eP=2b2a；对于抛物线:2eP=2P.（6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如x2=Ky焦点弦与对称轴夹角θ，则有|MN|=|K|sin2θ.三．相交弦长公式将直线y=Kx+d代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2(b2+a2K2)x2+2aKdx+a2d2−a2b2=0.若∆=4a2b2(a2K2+b2−d2)0存在相交弦A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=√(x1−x2)2−(y1−y2)2=√1+K2|x1−x2|在(b2+a2K2)x2+2aKdx+a2d2−a2b2=0中，由求根公式|x1−x2|=√∆b2+a2K2，|AB|=√∆b2+a2K2√1+K2在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。圆锥曲线知识提要四．焦点三角形问题对于椭圆和双曲线存在焦点三角形对于焦点三角形问题，应注意两条：一是用定义：椭圆：r1+r2=2a；双曲线：|r1−r2|=2a。二是用正余弦定理：举例：已知椭圆x2a2+y2b2=1，(a𝑏0)，点P位其上一点，点P对F1,F2张角（即∠F1PF2=θ），试求S∆PF1F2的θ表示式。解：由余弦定理：4c2=r12+r22−2r1r2cosθ=(r1+r2)2−2r1r2−2r1r2cosθ=4a2−2r1r2(1+cosθ)=4a2−2r1r2∙2cos2θ2移项，消去4：r1r2cos2θ2=a2−c2=b2又S∆PF1F2=12r1r2sinθ=r1r2sinθ2∙cosθ2=r1r2∙cos2θ2∙sinθ2cosθ2=b2说明：上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。请你推导右面双曲线的图，若∠F1PF2=θ，求S∆PF1F2。五．其他有关知识点：1.椭圆中的基本Rt∆OBF:BF=a,BO=b,FO=c.令∠BFO=θ,则cosθ=ca=e.可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e进行相互转换。比如：由e=√32可推知θ=300，a=2b.椭圆的方程便可以假设为：x24b2+y2b2=12.双曲线中的基本矩形：x2a2−y2b2=±1称为是相互共轭两条双曲线，作x=±a,y=±b,四条直线构成一个矩形，称作是这两条双曲线的基本矩形（如图）：基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。基本矩形中Rt∆OAD是x2a2−y2b2=1的一个基本Rt∆：OA=a,AD=b,OD=c.令∠DOA=θ,则θ就是其一条渐圆锥曲线知识提要近线的倾斜角。设斜率K，则tanθ=K.由e=ca知cosθ=ac=1e或e=1cosθ可以利用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K之间进行过渡。对于x2a2−y2b2=−1，则Rt∆OBD是它的基本Rt∆：|OB|=实半轴b，|BD|=虚半轴a,|OD|=c.令∠BOD=θ∗，则e∗=1cosθ∗。θ与θ∗互余，在共轭双曲线之间e与e∗有关系(1e)2+(1e∗)2=1.3.双曲线x2a2−y2b2=m,(m≠0)渐近线m0为一类双曲线，m0为二类双曲线，不论一类，二类，令m=0得到的两条直线定为双曲线的渐近线，具体运作时，移项，开方：x2a2=y2b2→y=±bax。这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反馈。例：已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为y=−34x，且过点（6，−4）。试求该双曲线方程。由y=−34x可得3x+4y=0及3x−4y=0.于是9x2−16y2=K。代入(6,−4)求K得9x268−16y268=1.4.有关抛物线的知识点：（1）四类抛物线：y2=±2Px,x2=±2Py可以简化为两大类：y2=Kx,x2=Ky.焦点(K4,0),(0，K4),准线x=−K4,y=−K4。（2）焦点弦端点坐标公式如图，A(x1,y1),B(x2,y2)为y2=2Px的焦点弦，则有：yA(x1,y1)x1∙x2=P24y1y2=−P2练习题：由焦点弦的一个端点B做准线x=−P2的垂线，垂足E。证明：A,O,E三点共线。EB(x2,y2)上面的性质可以推广到其他类型的抛物线。y2=2Pxx=−P2（3）抛物线上两点连线斜率公式对于一类抛物线y2=Kx上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，KAB=2Py1+y2关于圆锥曲线的切线1.椭圆圆锥曲线知识提要1）若点P(x1,y1)为椭圆x2a2+y2b2=1上一点，则椭圆过点P的切线方程为x1xa2+y1yb2=1同一法证明：由x12a2+y12b2=1（1）知点P(x1,y1)为椭圆与直线的公共点，若椭圆与直线还有一个公共点Q(x2,y2)，则x22a2+y22b2=1（2）x1x2a2+y1y2b2=1（3）（1）+（2）－2（3）：x12a2+y12b2+x22a2+y22b2−2(x1x2a2+y1y2b2)=1+1−2=0即(x1−x2)2a2+(y1−y2)2b2=0，即P=Q，直线与椭圆仅有一个公共点，故为切线。2）椭圆切线的一般表示点P(acosθ,bsinθ)为椭圆x2a2+y2b2=1上点的一般表示，代入上面的切点公式得xcosθa+ysinθb=1.此为椭圆切线的一般表示。练习题：求椭圆x29+y216=1上点与直线距离的最大值。设椭圆切线xcosθ4+ysinθ3=1，令其斜率K=−34∙cosθsinθ=−34得θ=π4，5π4。得dmax=6√23）切点弦直线点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1外一点，由P可向椭圆引两条切线PA，PB，切点A,B。直线AB称为切点弦直线。容易证明点P(x0,y0)的切点弦直线方程为x0xa2+y0yb2=1。设切点A(x1,y1),B(x2,y2)，则切线PA:x1xa2+y1yb2=1，由切线过P(x0,y0)，则x1x0a2+y1y0b2=1。（1）切线PB:x2xa2+y2yb2=1，由切线过P(x0,y0)，则x2x0a2+y2y0b2=1。（2）由（1），（2），直线x0xa2+y0yb2=1过A(x1,y1),B(x2,y2)。故为切点弦直线。2.双曲线（1）若点P(x1,y1)为双曲线x2a2−y2b2=1上一点，则双曲线过点P的切线方程为x1xa2−y1yb2=1。（2）若点P(x0,y0)为双曲线拱形外一点，则由P可引双曲线的两条切线PA，PB，切点A,B，切点弦直线AB方程为x0xa2−y0yb2=1。3.抛物线（1）若点P(x1,y1)为抛物线y2=2Px上一点，则抛物线y2=2Px在点P(x1,y1)处的切线方程为y1y=P(x1+x).完全类似于椭圆时情形，用同一方法进行证明。圆锥曲线知识提要若抛物线方程为y2=Kx，其上一点P(x1,y1)，则点P处切线方程为y1y=12K(x1+x)。若抛物线方程为x2=Ky，其上一点P(x1,y1)，则点P处切线方程为x1x=12K(y1+y)（2）若点P(x0,y0)为抛物线y2=2Px拱形外一点，则由P可引抛物线y2=2Px的两条切线PA，PB，切点A,B，则切点弦AB所在直线方程为y1y=P(x1+x)。练习题：（08山东理）yM为y=−2P上任意一点，MA,MB为x2=2Py的两条切线。求证：A,M,B三点横坐标成等差。证明：设A(x1,y1)，由求导公式得过点A的抛物线切线为x1x=P(y1+y),同理点B(x2,y2)处切线为x2x=P(y2+y)若这两条直线是由点M(x0,−2P)所引的两切线，Ax1x0=P(y1−2P),x2x0=P(y2−2P).这一结果表明直线Bx0x=P(y−2P)过点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，故直线x0x=P(y−2P)即为直线AB⋯xM(x0,−2P)y=−2P3.圆1）若点P(x1,y1)为圆x2+y2=r2上一点，则方程x1x+y1y=r2为圆在点P处的切线。2）若点P(x1,y1)为圆(x−a)2+(y−b)2=r2上一点，则方程(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2为圆在点P处的切线。3）若点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2或(x−a)2+(y−b)2=r2上一点，则方程x0x+y0y=r2或(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2为切点弦直线。练习题：1.由P（3,4）向圆x2+y2=1引两条切线PA，PB，切点A,B，求△PAB外接圆方程。解：由P（3,4）向圆x2+y2=1所引切点弦直线方程为3x+4y−1=0方程x2+y2−1+λ(3x