北京邮电大学《通信原理》课程讲义-随机信号分析

2006-6-161随机信号分析„随机过程的一般表述„平稳随机过程„高斯过程„平稳随机过程通过线性系统„窄带随机过程„正弦波加窄带高斯过程„循环平稳随机过程„加性噪声2006-6-1623高斯过程(1)„定义：任意n维概率密度是正态分布式()()12122121112,,;,,11exp22nnnnnjjkknjkjkjknfxxxtttxaxaσσπσσσ==⎡⎤⎛⎞−⎛⎞−=⋅−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑BBB……„概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数(相关系数)„性质：„广义平稳⇔狭义平稳„各随机变量之间互不相关⇔统计独立2006-6-1633高斯过程(2)„一维正态分布()221()exp22xafxσπσ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥⎣⎦„关于a对称：f(a+x)=f(a-x)„在点a处取极大值:12πσ1()()2aafxdxfxdx∞−∞==∫∫()()afxfxσ∼∼左右平移宽窄■112πσ1σ2σ12σσax()fx2006-6-1643高斯过程(3)„标准化正态分布:21()exp22xfxπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠()()xxaFxfzdzσ−∞−⎛⎞==Φ⎜⎟⎝⎠∫21()exp22xzxdzπ−∞⎛⎞Φ=−⎜⎟⎝⎠∫„概率积分函数:„概率分布函数:202()xzerfxedzπ−=∫„误差函数:()()221erfxx=Φ−()1()erfcxerfx=−2006-6-1654平稳随机过程通过线性系统(1)()itξ()()()oitthtξξ=∗()xt()()()ytxtht=∗()ht„输出随机过程的均值()()()0oiEtEthdξξτττ∞⎡⎤⎡⎤=−⎣⎦⎢⎥⎣⎦∫()()00iiahdaHττ∞==∫„输出随机过程的自相关函数与功率谱密度()()(),oooRttEttξτξξτ⎡⎤+=+⎣⎦()()()00iRuvhuhvdudvξτ∞∞=+−∫∫()oRξτ=平稳平稳()()()()2ooiPRPHξξξωτωω⎡⎤==⎣⎦F()()0iEthdξτττ∞⎡⎤=−⎣⎦∫2006-6-1664平稳随机过程通过线性系统(2)()()iottξξ和的互相关函数与互功率谱密度■()()(),ioioRttEttξξτξξτ⎡⎤+=+⎣⎦()()iRhξττ=∗()()()()ioioiPRPHξξξξξωτωω⎡⎤==⎣⎦F()()()0,2iNtRξτδτ=例.若输入为白噪声即，则■()()()()0022ioNNRhhξξτδτττ=∗=()()02ioNRhξξττ≈=()01()()ioTioRttdtTξξτξτξ=−∫()otξ()ht()itξτ延迟()01TdtT∫2006-6-1674平稳随机过程通过线性系统(3)()sgn()Hjωω=−()()()()ˆ.tRttξξτξξ例.已知的自相关函数，求和的相关特性■1ˆ()()tttξξπ=∗()()()()2ˆPHPPξξξωωωω==■ˆ()()RRξξττ=()()()ˆ1ˆRRRξξξξτττπτ=∗=■()()()ˆˆˆRRRξξξξξτττ=−=−奇函数奇函数奇函数奇函数()()ˆˆ000RRξξξξ==■()()ˆttξξ与同一时刻互不相关高斯高斯独立独立()itξ∼正态随机过程■()otξ∼正态随机过程线性变换线性变换()()XYYXRRττ=−2006-6-1685窄带随机过程(1)ωc)(ωPxwc+ωwc−ωωc−wc+−ωwc−−ωω0•定义：若x(t)为平稳随机过程，其功率谱密度如上图所示，满足。•窄带随机过程的表示方法：wc2ωtttttttatxcscccxxωωωϕsin)(cos)()](cos[)()(−=+=)(cos)()(ttatxcϕ=)(sin)()(ttatxsϕ=:cff∆1%~窄带；1%至20%~宽带；20%~超宽带2006-6-169窄带随机过程的等效低通表示etjLctxtxjtxtzω)()(ˆ)()(=+=•的解析信号可表示为)(tx])(Re[)](Re[)(etjLctxtztxω==exxtjscLtatjttx)()()()()(ϕ=+=可以证明，有•的自相关函数与功率谱密度)(tz)]τ()τ([2)τ(ˆRRRxxzj+=)()(4)(ωωωuPPxz=⎩⎨⎧=0001)(ωωωu2006-6-1610复包络的相关函数与功率谱密度eRRcLjzxτ)τ()τ(ω−=•相关函数)()(ωωωczxPPL+=•功率谱密度2006-6-1611和的统计特性)(txc)(txs⇒=−etjLctztx由可以证明，有ω)()(ttxttxtcccxωωsin)(ˆcos)()(+=ttxttxtccsxωωsin)(cos)(ˆ)(−=τsin)τ(τcos)τ()τ()τ(ˆωωcxcxRRRRxxsc+==τsin)τ(τcos)τ()τ(ˆωωcxcxRRRxxsc−=τsin)τ(τcos)τ()τ(ˆ)τ(ωωcxcxRRRRxcxsxxsc+=−=−2006-6-1612有关和的结论)(txc)(txs„若，则。„若为高斯过程，则和也是高斯过程。„若是宽平稳过程，则和为联合平稳随机过程，即它们是平稳过程，且它们的互相关只与有关。„和在同一时刻不相关，若为高斯过程，则相互独立。„功率谱密度0)]([=txE0)]([)]([==txEtxEsc)(tx)(txc)(txs)(tx)(txc)(txsσ2)0()0()0(xxRRRxxsc===)(txc)(txs0)0()0(=−=RRxxxxcssc⎪⎩⎪⎨⎧≥−++==wwxxcxcxPPPPscωωωωωωωω,0),()()()(τ2006-6-1613图示cωω∆对于严格限频信号，当时有■()()()(),0,csccccPPPPξξξξωωωωωωωωω⎧++−−≤≤==⎨⎩其它cω()Pξωω0Acωω+∆cω−0()cPξωω+ω0Aω∆2cω−cω−0()cPξωω−ω0Aω−∆2cωcω0()()csPPξξωω=ωAω−∆ω∆2006-6-1614总结（1）一个均值为0的窄带高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为0，方差也相同，另外，在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相关的或统计独立的。2006-6-1615和的概率密度)(ta)(tϕ假定为高斯分布，则和的联合概率密度为)(tx)(txc)(txs⇒⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=σσπ22222exp21),(xxxxscscf⇒≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=0,2exp2),(222aaafaσσπϕ0,2exp)(222≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=aaafaσσπϕπϕ2021)(≤≤=f－瑞利分布－均匀分布2006-6-1616总结（2）一个均值为0，方差为的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是瑞利分布，而其相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，和是统计独立的。σ2)(ta)(tϕ)(ta)(tϕ2006-6-1617正弦波加窄带随机过程考察混合信号其中是均值为0的窄带高斯过程，在上均匀分布，且假定幅度和频率已知。可以求得)cos()()cos()(ϕθωω+=++=tZtntAtxcc)(tnθ)2,0(πAωc0,)()](21exp[)(202222≥+−=zAzzzfIAzσσσ－广义瑞利分布∫=πθθπ200)cosexp(21)(dxxI0,2exp)(222≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=zzzfzσσ若，有0=A－瑞利分布2006-6-1618图示表示方法2■()()()cos,crtztttωϕ⎡⎤=+⎣⎦()()()()()()22csscztztztzttarctgztϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩其中()2202221()exp,02zAzfzzAIzσσσ⎡⎤⎛⎞=−+≥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠广义瑞利分布广义瑞利分布((莱斯分布莱斯分布))„Aσ，f(z)~近似高斯分布„A=0，f(z)~瑞利分布2006-6-1619循环平稳随机过程(1)„定义：随机过程的均值和自相关函数是时间的周期函数例.可表示某些数字基带信号的随机过程()()nntagtnTξ∞=−∞=−∑{}()()()*nnaannkaaEamRaaRk+==∼其中广义平稳随机序列，；()[]0,gttT∈∼符号波形(确定函数)，„均值()()nnEtEagtnTξ∞=−∞⎡⎤⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑()anmgtnT∞=−∞=−∑周期为周期为TT2006-6-1620循环平稳随机过程(2)„自相关函数()()**nmnmEaagtnTgtmTτ∞∞=−∞=−∞⎡⎤=−+−⎣⎦∑∑()()(),*RttEttξτξξτ⎡⎤+=+⎣⎦()()()*anmRmngtnTgtmTτ∞∞=−∞=−∞=−−+−∑∑()(),,RtkTtkTRttξξττ+++=+()tξ∴∼循环平稳()tξ的平均自相关函数和功率谱密度■()()221,,TTRttRttdtTξξττ−+=+∫()Rξτ=()()jPRedωτξξωττ∞−−∞=∫2006-6-1621加性噪声(1)„加性噪声独立于有用信号„噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声„噪声分类：确知噪声、随机噪声„随机噪声分类„单频噪声(外台，窄带)：并不总是存在„脉冲噪声(点火、闪电，幅度大、时间短，频带宽)：安静期长,对模拟话音影响不大，但对数字通信易造成误码，可使用纠错编码„起伏噪声(热、散弹、宇宙)：普遍存在不可避免，可认为是一种高斯噪声，并且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度2006-6-1622加性噪声(2)„白噪声：功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，是一种理想宽带过程()02NPξω=()()02NRτδτ=τ0()02Nδτ()Rτω0()Pξω02N2006-6-1623加性噪声(3)„带限白噪声00,||()20,NffPξω⎧⎪≤=⎨⎪⎩其他()000()2RfNSafτπτ=()002kRfττ==时，只有以频率2f0对带限白噪声进行抽样时，各样值才互不相关2006-6-1624加性噪声„窄带平稳高斯噪声n(t)通过相干解调fcfc−f2B()nPf02N()1Hf×()cos2cftπ()2Hffcfc−f0.12B()1Hff0.12B()wnt()nt()pnt()ont()2Hff2B()cnPf0N()()()cossinccscntnttnttωω=−■()()()()()11coscos2sin222pccccscntnttntnttnttωωω⎡⎤==+−⎣⎦()()12ocntnt=()()14conPPωω=■01,24NBωπ=≤()()2201142ocntntNB==■