高一数学必修一必修二各章知识点总结

数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合（一）集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性3.集合的表示：（1）常用数集及其记法（2）列举法（3）描述法4、集合的分类：有限集、无限集、空集5.常见集合的符号表示：数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN或NZQR（二）集合间的基本关系1.子集、真子集、空集；2.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集；3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（三）集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）记作UCA，即CUA={|,}xxUxA且韦恩图示AB图1AB图2性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．二、函数（一）函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.2.常用的函数表示法及各自的优点：○1解析法：必须注明函数的定义域；○2图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○3列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)(1)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；(2)定义域一致.求函数值域方法:（先考虑其定义域）（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等.2.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据.(2)画法:描点法;图象变换法常用变换方法有三种:平移变换;对称变换；*伸缩变换.3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象集）B（象集）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2)各部分的自变量的取值情况；(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．（二）函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.UA定义的变形应用：如果对任意的12,xxD，且21xx有0)()(1212xxxfxf或者2121(()())()0fxfxxx，则函数)(xf在区间D上是增函数；如果对任意的12,xxD，且21xx有2121()()0fxfxxx或者2121(()())()0fxfxxx，则函数)(xf在区间D上是减函数.注意：函数的单调性是函数的局部性质.（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3)函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.3.函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法；待定系数法；换元法；消参法.如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)4．函数最大（小）值（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n.当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）rsrsaaa(0,,)arsR；（2）()rsrsaa),,0(Rsra；（3）()rrrabab(0,)arR．（二）指数函数及其性质1．指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2．指数函数的图象和性质a10a1654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[（a1）或)]a(f),b(f[(0a1)；（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f.二、对数函数（一）对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog.两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．指数式与对数式的互化幂值真数ba＝NlogaN＝b底数指数对数（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式可得下面的结论：（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2对数函数对底数的限制：0a，且1a．2、对数函数的图象和性质：a10a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域：(0,)定义域：(0,)值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）三、幂函数1．幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数