中考数学分类汇编——知识点41--尺规作图2019

2019中考试题分类1知识点41尺规作图2019第一批一、选择题9．（2019·长沙）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是【】A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故本题选：B．8．（2019·烟台）已知60AOB，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在AOB内交于点P，以OP为边作15POC，则BOC的度数为（）．A．15B．45C．15或30D．15或45【答案】D【解析】由题目可以得出OP为AOB的平分线，所以1302AOPBOPAOB，又因为15POC，考虑到点C有可能在AOP内也有可能在BOP内，所以当点C在AOP内时BOC45BOPPOC，当点C在BOP内时BOC15BOPPOC．三、解答题22．（2019山东省德州市，22，12）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．【解题过程】（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，2019中考试题分类2求证：PB、PC为⊙O的切线；证明：∵∠BPD＝120°，PAC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴PA＝PC，连接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）∴OA＝OC，∴PB、PC为⊙O的切线；（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，∵OP平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝×2＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO﹣S扇形AOC＝2××2×2﹣＝4﹣2π．20．(2019·泰州)如图,△ABC中,∠C＝90º,AC＝4,BC＝8.(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.第20题图【解题过程】(1)如图所示,直线DE为所求的AB的垂直平分线;(2)连接AD,因为DE垂直平分AB,所以AD＝BD,设AD＝BD＝x,则CD＝8－x,在Rt△ACD中,AC2+CD2＝AD2,即42+(8－x)2＝x2,解之得,x＝5,所以BD的长为5.2019中考试题分类320．（2019浙江省温州市，20，8分）（本题满分8分）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG=90°；（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP=NQ．注：图1，图2在答题纸上．【解题过程】（1）画法不唯一，如图1或如图2等；（2）画法不唯一，如图3或如图4等.图1图2图3图420．（2019·嘉兴）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【解题过程】解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．21．（2019江苏盐城卷，21，8如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F;2019中考试题分类4(用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．)（2）连接DE、DF，四边形AEDF是_________形．（直接写出答案）【解题过程】（1）如图所示：直线EF就是线段AD的垂直平分线．（2）菱形．证明：连结DE、DF∵EF垂直平分AD∴EA=ED,FA=FD∴∠EAD=∠EDA,∠FAD=∠FDA∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD∴∠EAD=∠EDA=∠FAD=∠FDA∴AE∥DF,AF∥ED∴四边形AEDF为平行四边形∵EA=ED∴四边形AEDF为菱形．15．（2019·青岛）已知：∠α，直线l及l上两点A,B.求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°,∠BAC＝∠α．【解题过程】如国所示：则Rt△ABC即为所求.15．（2019江西省，15，6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).(1)在图1中作弦EF，使EF∥BC；(2)在图2中以BC为边作一个45°的圆周角.2019中考试题分类5【解题过程】解：（1）如图所示∴DE即为所求.（2）如图所示∴∠MBC即为所求.21．（2019·陇南）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意可知，OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．1.（2019·济宁）如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．2019中考试题分类6解：(1)画出∠AOB的角平分线，画出线段MN的垂直平分线，两者的交点就得到P点．（2）作图的理由：点P在∠AOB的角平分线上，又在线段MN的垂直平分线上，∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求．2（2019·无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹（1）如图1，A为圆O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出得内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：2如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F；②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.解：（1）连结AE并延长交圆E于点C，作AC的中垂线交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求.2019中考试题分类7（2）①连结AC，BD交于点O，连结EB交AC于点G，连结DG并延长交CB于点F，F即为所求.②第二批一、选择题8．（2019·深圳）如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3．以AB两点为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N作直线与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．8B．10C．11D．13【答案】A【解析】由作图方法知，MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△BDC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=5+3=8．故选A．【知识点】尺规作图；线段的垂直平分线；等腰三角形9．（2019·河南）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3，分别以点A，2019中考试题分类8C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（）A.22B.4C.3D.10【答案】A【解题过程】过点A做BM⊥BC与点M,∵AD∥BC∴∠BCD+∠D=180°又∵∠D=90°∴∠BCD=90°∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°四边形BCDM为矩形∴AB=BC=3BM=CD由作图可知AE=CE又∵O是AC的中点∴AB=BC=3在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=AD-MD=1∴BM=22223122ABAM∴CD=22.故选A【知识点】尺规作图矩形的判定及性质等腰三角形的性质垂直平分线的性质勾股定理10.（2019·宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）【答案】A【解析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选：A．【知识点】作图题10.（2019·河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）2019中考试题分类9【答案】C【解析】∵外心是三角形三边中垂线的交点，而C中的作图是找两边的中垂线，∴C正确.【知识点】尺规作图、中垂线的作图、外心的定义二、填空题16．（2019·兰州）如图，矩形ABCD，∠BAC=60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M,N两点，再分别以点M,N为圆心，以大于21MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE=1，则矩形ABCD的面积等于.【答案】33【解析】在矩形ABCD中，∠BAC=60°，∴∠B=90°，∠BCA=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=30°，∵在Rt△ABE中，BE=1，∴AE=1sin30=2，AB=13tan30，∵∠EAC=∠ECA=30°，∴EC=AE=2，∴S矩形ABCD=ABBC=33.【知识点】矩形的性质，角平分线的性质，矩形的面积，锐角三角函数三、解答题23.（2019·广州)如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【思路分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解题过程】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC6，∵BC＝CD，∴t，∴OC⊥BD于E．∴BE＝DE，2019中考试题分类10∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x，∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OEt，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10tt．【知识点】作图题；圆周角定理；解直角三角形20．（2019·福建）已知△ABC为和点A'，如图.(1)以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.【思路分析】（1）利用相似三角形面积比等于相似比平方，作△A'B'C'使△A'B'C'的各边是△ABC中各边的2倍；（2）利用三角形中位线定理，结合相似三角形对应边成比例，可得△DEF的各边与△D'E'F'的各边对应成比例，即可得出结论.【解题过程】（1）如图：则△A'B'C'为所求作图形.(2)证明：∵D、E、F分别是