2019年深圳市高三数学一模(文)试卷

深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第1页共16页绝密★启用前试卷类型：（A）深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）2019．2本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|12}Axx，{1,2,3}B，则AB2．设22i1iz，则||z3．在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点(2,1)P，则sin(π2)的值为（A）{1}（B）{2}（C）{1,2}（D）{1,2,3}（A）2（B）2（C）5（D）3（A）45（B）35（C）35（D）45深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第2页共16页4．设x，y满足约束条件030426xyxy，则3zxy的最大值为5．已知)(xf是定义在R上的偶函数，在区间(,0]为增函数，且(3)0f，则不等式(12)0fx的解集为6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为7．已知圆锥的母线长为5，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（A）25π4（B）16π（C）25π（D）32π8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取112BCAB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BEAFAE的概率约为（参考数据：52.236）（A）0.236（B）0.382（C）0.472（D）0.6189．已知直线π6x是函数()sin(2)fxxπ(||)2图象的一条对称轴，为了得到函数()yfx的图象，可把函数sin2yx的图象（A）7（B）9（C）13（D）15（A）(1,0)（B）(1,2)（C）(0,2)（D）(2,)（A）64（B）68（C）80（D）109第（8）题图EDCBA深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第3页共16页10．在长方体1111ABCDABCD中，2AB，2BC，122CC，M为1AA的中点，则异面直线AC与1BM所成角的余弦值为11．已知1F，2F是椭圆12222byax（0ab）的左，右焦点，过2F的直线与椭圆交于P，Q两点，若1PFPQ且112QFPF，则21FPF与21FQF的面积之比为12．已知函数ln,0,()1,0,xxxfxxx若12xx且12()()fxfx，则12||xx的最大值为（A）1（B）2（C）2（D）22第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线1exyx在点1(1)f，处的切线的斜率为．14．已知平面向量a,b满足||2a，||4b，|2|43ab，则a与b的夹角为．15．已知1F，2F是双曲线的两个焦点，以线段12FF为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于,,,ABCD四个点，若这四个点与1F，2F两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为．16．在ABC中，150ABC，D是线段AC上的点，30DBC，若ABC的面积为3，当BD取到最大值时，AC．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（A）向左平行移动π6个单位长度（B）向右平行移动π6个单位长度（C）向左平行移动π12个单位长度（D）向右平行移动π12个单位长度（A）66（B）23（C）34（D）223（A）23（B）21（C）2+1（D）2+3深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第4页共16页17．（本小题满分12分）记nS为等差数列{}na的前n项和．已知14a，公差0d，4a是2a与8a的等比中项．（1）求数列{}na的通项公式；（2）求数列1{}nS前n项和为nT．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．质量指标Y9.4,9.89.8,10.210.2,10.6频数82416一年内所需维护次数201（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在9.8,10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（本小题满分12分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，PDDC，ADPC．（1）求证：ACAP；深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第5页共16页（2）若平面APD平面ABCD，120ADC，4ADDC，求点B到平面PAC的距离．20．（本小题满分12分）设抛物线C：24yx，直线:l20xmy与C交于A，B两点．（1）若46AB，求直线l的方程；（2）点M为AB的中点，过点M作直线MN与y轴垂直，垂足为N，求证：以MN为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()2e2xfxaxx，其中2a．（1）当0a时，求函数()fx在1,0上的最大值和最小值；（2）若函数()fx为R上的单调函数，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第6页共16页22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,sin,cos2tytx（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2，直线l与曲线C交于A，B两个不同的点．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P为直线l与x轴的交点，求2211PBPA的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(xxxf，1)(2mxxxg．（1）当4m时，求不等式)()(xgxf的解集；（2）若不等式)()(xgxf在12,2［］上恒成立，求m的取值范围．深圳市2019年高三年级第一次调研考试文科数学试题参考答案及评分标准深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第7页共16页第Ⅰ卷一．选择题（1）C（2）B（3）A（4）C（5）B（6）A（7）C（8）A（9）C（10）B（11）D（12）C12【解析】不妨设21xx，由12()()fxfx，要使12||xx最大，即转化为求12maxxx，问题可转化为（如图所示）11(,)Axy到1(0)yxx距离的最大值问题．此时需过A点的切线与1yx平行．当0x时，()ln1fxx，令()1fx，则11x，(1,0)A，21x所以12||xx的最大值为2．二．填空题：13．e114．6015．216．2716【解析】由题意可知11sin150324ABCSacac，得43ac．设BDx，则134344BCDABDSSaxcx，可得433xac，当且仅当3ac时x取到最大值，所以23a，2c，由余弦定理可得27b．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）记nS为等差数列{}na的前n项和．已知14a，公差0d，4a是2a与8a的等比中项．（1）求数列{}na的通项公式；（2）求数列1{}nS前n项和为nT．【解析】（1）∵2a，4a，8a成等比数列，∴2428aaa，∴2111(3)()(7)adadad，……………………………………2分∴2(43)(4)(47)ddd，深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第8页共16页解得4d或0d，∵0d，∴4d．………………………………………………………4分∴数列{}na的通项公式1(1)4()naandnnN．…………………6分（2）∵21()222nnnaaSnn，…………………………………………8分∴211111()2221nSnnnn，………………………………………10分∴12111......nnTSSS111111111()()()(1)21223121nnn．……………12分【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．质量指标Y9.4,9.89.8,10.210.2,10.6频数82416一年内所需维护次数201（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在9.8,10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【解析】（1）指标Y的平均值132=9.6+10+10.410.07666．……………2分（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在9.8,10.2内的有3件，记为深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题第9页共16页123AAA、、；指标Y在10.2,10.6内的有