07-第七节-小数的概念与性质

第四章分数与百分数1第四章小数与百分数主要内容小数的概念（小数点、纯小数、带小数）；小数的四则运算（小数加法减法、小数乘法除法）；近似数；小数与分数的互化（循环小数、纯循环小数、混循环小数、循环节、循环周期）；百分数的概念；近似计算。本章教学内容，关于小数的定义，可能会带给人们一些困惑，即用小数的定义来判断，无限小数是不是小数的问题，似乎产生了（习惯上无限小数是小数，然而，按十进分数改写成不分母形式的数叫小数）矛盾。关于小数与分数互化的定理，人们可能会感到有些困难，因为，定理的证明采用了具有难度的数学方法——构造法，这种方法充分反映了在数学研究过程中的主观能动作用。因此，我们的教学重点在这两个内容上下功夫，主要采用问题思考与分析讲解，以及自我理解与辅导。第一节小数的概念和性质教学进程一、小数的概念1．定义⑴十进分数分母是n10（n为自然数）的分数，叫做十进分数。十进分数是分数的集的子集。十进分数的分数单位：n101。十进制整数的计数单位与十进分数的计数单位合一起，就构成了一个完整的十进制计数单位：nnnn101,101,,101,101,10,10,10,,10,101210121⑵十进分数的科学计数法设：十进分数的分子为0111aaaaaaknnmnmn，十进分数的分母为nb10，则十进分数：第四章分数与百分数2bknnnmnmnaaaaaa100111nnnnmmnmmnaaaaaa10110110110101001111011⑶十进分数刻画方式的改进将十进分数改写成不带分母形式的数，即：bknnnmnmnaaaaaa1001110111aaaaaannmnmn⑷小数的定义根据十进位制原则，把十进分数改写成不带分母的形式的数叫做小数。小数中的标记点（小圆点）叫做小数点。小数点左边部分是小数的整数部分，小数点右边部分是小数的小数部分。整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。整数可以看作小数部分是零的小数。⑸小数的数位名称与计数单位整数部分小数部分数位名称……千位百位十位个位·十分位百分位千分位……计数单位……千百十一十分之一百分之一千分之一……⑹小数的语言刻画方式小数的语言刻画方式有两种：一是整数部分按整数刻画方式，小数部分依次读出每一数位上的数字；二是把小数看作分数，按分数的刻画方式。⑺小数的本质特征数是刻画事物数量的一种标记，显然，小数也应该是刻画事物数量的标记，那么，小数是刻画什么事物数量的标记呢？自然数刻画的是自然单位为计数单位的数量，整数刻画的是经过整合的计数单位的数量，因此，小数刻画的是经过切分的计数单位的数量，它含有小于自然单位“1”的计数单位。由此可见，小数的本质特征是含有小于自然单位的计数单位的数。二、小数的性质与大小1．小数的性质⑴小数末尾的零在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变。第四章分数与百分数3⑵小数点的移动把小数点往左移动n位，小数就缩小n10倍；把小数点往右移动n位，小数就扩大n10倍。2．小数的大小比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的小数就大；如果整数部分相同，那么依次看小数的十分位、百分位、千分位、……上的数，当出现第一个数的大小不相同的数位时，数大的小数就大，数小的小数就小。第二节小数的四则运算一、小数的加法与减法小数加法与减法的意义与整数加法与减法的意义一样；小数加法与减法的运算法则与整数加法与减法法则也基本相同，即相同计数单位的数相加减。也就是说，利用位值原则，先把小数转化为若干个不同计数单位的数的和的形式，然后，利用若干个数的和与若干个数的和的性质，分别把不同计数单位的数相加（当计数单位满十时做好数的进位转化工作），最后，再利用位值原则写出加减运算的结果。在小数的竖式计算中，相同计数单位的数相加减就是数位对齐，也就是小数点对齐！问题思考：小学生在计算小数加法时，出现末尾对齐的错误，其原因是什么？二、小数的乘法与除法1．小数乘法的原理与法则⑴小数乘法的原理设两个小数ba与，且小数位数分别为n位与m位。则两个小数分别可以写成十进分数，即：nAa10，mBb10。因此，两个小数相乘，mnBAba1010=mnBA10⑵小数乘法的法则两个小数相乘，先把小数看作整数相乘，再把两个因数的小数位数的和，作为积的小数位数。问题思考：基于小数乘法的原理与法则，小学数学教学中，如何教学：75.3？小数乘法教第四章分数与百分数4学的重点与难点是什么？它的教学基础是什么？或者说：学生会算小数乘法的前提条件是什么？教学过程设计可以有两种：一种是生活化教学过程（利用生活常识获得计算结果），一种是数学化教学过程（利用数学知识获得计算结果）。2．小数除法的原理与法则⑴小数除以整数的原理设小数为a，整数为B，且小数a的小数位数n位。则小数a可以写成十进分数，即：nAa10。因此，小数除以整数，BABan10=BAn10=nB）（A10问题思考：学生能够计算小数除以整数的运算式题，至少要掌握哪些知识？⑵小数除以整数的法则一个小数除以整数，可以把小数看作整数除以整数求出“商”，然后，把“商”的小数点往左移动n位。⑶小数除以小数的原理设两个小数ba与，且小数位数分别为n位与m位。则两个小数分别可以写成十进分数，即：nAa10，mBb10。因此，小数除以小数，mBaba10=)10(mBa=Bam)10(⑷小数除以小数的法则一个小数除以小数，首先，利用转化思想，找到运算的基本策略，即把除数的小数转化成整数；其次，利用除法运算性质（商的不变性），“被除数与除数同时扩大或缩小相同的倍数商的大小不变”，把小数除以小数的被除数与除数同时扩大m10倍，把除数的小数转化成整数，即可按照小数除以整数的法则进行运算。问题思考：教学小数除以小数，教学重点是什么？三、有限小数与无限小数1．有限小数与无限小数的概念⑴有限小数小数部分的位数有限的小数，叫做有限小数。⑵无限小数第四章分数与百分数5小数部分的位数无限的小数，叫做无限小数。2．问题思考⑴从定义出发来看，有限小数与无限小数的区别是什么？⑵无限小数是不是小数？四、近似数与准确数1．近似数与准确数的概念⑴什么叫准确数？在计数与计算过程中，获得的结果与实际情况完全符合的数，叫做准确数；⑵什么叫近似数？在计数与计算过程中，获得的结果与实际情况不完全符合的数，叫做近似数。一个数的近似数，可以记作：aA2．截取近似数的方法⑴四舍五入法如果去掉部分的首位数字大于等于5，就给保留部分的最后一位数加上1（称五入）；如果去掉部分的首位数字小于5，保留部分的最后一位数保持不变（称四舍）。⑵进一法去掉多余部分的数字后，保留部分的最后一位数加上1。⑶去尾法去掉多余部分的数字后，保留部分的最后一位数保持不变。第三节小数与分数一、化分数为小数1．化分数为有限小数⑴化分数为有限小数的定理定理1一个既约真分数ba能化为有限小数的充要条件是，分母b只含有质因数2与5（只有2，或只有5，或既有2也有5），而且，有限小数的位数与分母中2或5的较大指数相同。定理的简化表征：（既约真分数）ba能化成有限小数b只含有质因数2、5第四章分数与百分数6定理的证明：充分性：b只含有质因数2、5ba能化成有限小数证明：∵b只含有质因数2、5，∴ba=mna52=nmnma1052，显然，这是一个十进分数，因此，ba能化成有限小数。必要性：ba能化成有限小数b只含有质因数2、5证明：∵ba能化成有限小数，∴ba是一个十进分数，即：ba=mc10。根据分数相等的定义有：macb10mab10|。又∵ba是既约真分数，∴mb10|，即b只含有质因数2、5。⑵化分数为有限小数的方法第一种方法：十进分数法。把分数化成十进分数，再把十进分数写成不带分母形式的数。第二种方法：除法运算法。根据分数与除法的关系，用分子除以分母，商就是小数。2．化分数为循环小数⑴循环小数的概念一个无限小数，如果它的小数部分从某一位起，都是由一个或者几个数字，依照一定的顺序不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数小数部分依次重复出现的一个或几个数字，叫做循环节。小数点后第一位开始循环的小数，叫做纯循环小数。小点后面有一位或几位不循环的循环小数，叫做混循环小数。⑵循环小数的性质循环节的位数增加到原循环节的2倍、3倍……循环小数的值不变。纯循环小数可以写成混循环小数的形式，值不变。有限小数也可以写作以0为循环节的循环小数。⑶化分数为循环小数的定理定理2如果一个既约真分数ba的分母b只含有2和5以外的质因数，那么，①这个分数所化成第四章分数与百分数7的小数是纯循环小数，而且，②这个循环小数的循环节的最少位数，与分母能整除个t99999时9的最少个数t相同。定理的证明：第一部分。因为，既约真分数ba的分母b只含有2和5以外的质因数，所以，1)10,(nb。21,,,qqrt，且t取最小值rqbrqbtmm211010，即⑵rbq⑴rbqtmm211010)()110(1012qqbtm)110(|tb显然，abt)110(|设qbat)110(，)(为整数q，即qbabat10。则有：bat10与ba的小数部分相同。令2121.0tttbbbbbba则2121.10ttttbbbbbba且有：11tbb，22tbb，……，ttbb2；1211ttbbb，2222ttbbb，……tbbbba.21..0，（t是循环节的位数）。因此。分母只含有2和5以外的质因数的既约真分数化成的小数是纯循环小数。定理的证明：第二部分。由第一部分可知，t是个tb999|的最少的“9”个数，也是既约真分数ba能化成纯循环小数的循环节位数。假设t不是循环节的最少位数，则)(tss，第四章分数与百分数8.2.1.0sbbbbababbbbass10.021babbbbass2110ssbbbbaba2110ssbbbba21)110(∵sbbb21是整数，ba是既约真分数∴)110(|sbb能整除个s999的个数s比t小，与b能整除个t999的最少个数t矛循。由此可见，ba是既约真分数化成纯循环小数，循环节的最少位数是t，也就是分母b能整除个t999中9的最少个数。⑷化分数为混循环小数的定理定理3如果一个既约真分数ba的分母b里，既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么，①这个分数ba所化成的小数是混循环小数；②小数部分不循环的位数等于分母里因数2和5的指数中较大的一个数；③这个循环小数的循环节的最少位数，与分母里2和5以外的质因数的积能整除个t99999时9的最少个数t相同。定理证明：第一部分。因为，既约真分数ba的分母b里，既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，所以有：设pabamn52，p为分母b里2、5以外的质因数的积。mnnmmnpapaba1015252第四章分数与百分数9pabanmmn5210，且（nmap52,）=1rq,，且（pr0，p为整数），rqpanm)52(prqpanm52显然，pr是一个既约真分数，且p只有2、5以外的质因数，因此，pr可以化成纯循环小数。panm52也是一个纯循环小数。mnnmpa10152是一个混循环小数。设nm，则mnmmnnmpapa101210152，因此，不循环部分的倍数与分母2、5中较大的一个指数相同。而且，当小数点向左移动m位后，小数的循环节没有发生变化，ba的循环节与mnmpa1012的循环节的最少位数相同。3．化分数为小数的小结图