第八章空间图形与简单几何体

1/15第八章空间图形与简单几何体第一节平面的基本性质【知识梳理】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用；2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定；3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法；b5E2RGbCAP4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。p1EanqFDPw【例题精析】[例1]1）在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于点P，那么）DXDiTa9E3dA.B.C.D.2）在正方体AC1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱A1B1上的任意一点，则OP与AM所成角为）RTCrpUDGiTA、B、C、D、3）异面直线成角，P为之外的一个定点，若过P有且仅有两条直线与所成的角相等都等于θ），则）5PCzVD7HxAA、B、C、D、4）正方体的12条面对角线所在的直线中，互相异面的直线共有__________对。5）空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB、CD的中点，EF=，则AD、BC所成的角为__________。jLBHrnAILg[例2]已知直线a∥b，c∩a=A，c∩b=B.求证：a、b、c在同一平面内.[例3]分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?[例4]如图所示，已知，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥AD，且PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求异面直线PA与MN所成角的大小。第二节直线和平面的位置关系【知识梳理】1、直线与平面垂直的性质与判定；2、点到平面的距离，直线到平面的距离；3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。【例题精析】[例1]1）平面过△ABC的重心，B、C在的同侧，A在的另一侧，若A、B、C到平面的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为(xHAQX74J0XA2a=b+c；Ba=b+c；C2a=3(b+c；D3a=2(b+c．LDAYtRyKfE2/152）已知正△ABC的边长为，则到三个顶点的距离都为1的平面有(A1个；B3个；C5个；D7个．3）设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是）A、，若，则B、，，若，则C、，若，则D、，是在内的射影，若，则4）已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是__________.5）P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，则O是△ABC的__________心；若P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的__________心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的__________心．Zzz6ZB2Ltk[例2]已知中，面，，求证：面．[例3]如图，已知CD是异面直线CA、DB的公垂线，CA于A，DB于B，∩=EF．求证：CD∥EF．[例4]如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上的一点，且PF=PB．求证：1）GF平面PBC；2）FEBC；3）GE是异面直线PG与BC的公垂线．第三节空间线线角与线面角【知识梳理】1、异面直线所成的角：1）范围：；2）求法；2、直线和平面所成的角：1）定义：2）范围：；3）求法；3、一些常见模型中的角之间的关系。【例题精析】[例1]1）在正方体中，下列几种说法正确的是）A．B.C.与成角D.与成角2）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为）A.2个B.4个C.6个D.8个dvzfvkwMI13）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是）rqyn14ZNXIA．90ºB．60ºC．45ºD．30ºδFEDCBAB1A1NMGFEDCBPAQ3/154）在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是__________。EmxvxOtOco5）点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成的角，则AB的长等于__________.[例2]如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。SixE2yXPq51）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；2）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论。[例3]如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(1证明:BC⊥侧面PAB。(2证明:侧面PAD⊥侧面PAB。(3求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小.[例4]设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.6ewMyirQFL第四节二面角【知识梳理】1、二面角的平面角的定义三要素；2、作二面角的平面角的主要方法；3、二面角的范围：；4、二面角的求法。【例题精析】[例1]1）正四棱锥的一个对角面与侧面的面积之比为，则侧面与底面所成的二面角为）A．B．C．D．2）60°的二面角，动点A∈α，动点B∈β，AA1⊥β，垂足为A1，且AA1=a，，那么B点到平面α的最大距离是）kavU42VRUsA、B、C、D、3）两个同底的正棱锥P—ABC和Q—ABC都内接于同一个半径为R的球O，设正三棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角分别为α、β，则等于）y6v3ALoS89A、B、C、D、4）平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为的椭圆，则角θ等于_______。M2ub6vSTnP5）正方形的夹角的余弦值是[例2]如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。1）求证：DE∥平面A1B1C1；2）求二面角A1—DE—B1的大小。0YujCfmUCwABCDPαβ4/15[例3]点是边长为4的正方形的中心，点E、F，BC点．沿对角线AC方形折成直二面角D－AC－B．1）求的大小；2）求二面角的正切值．[例4]已知P、Q、M分别是45°的二面角α—l—β的面α、β和棱l上的点，直线MQ是直线PQ在β上的射影如图），若PQ和β成角，l和MQ成θ角，PM=a，求PQ的长.eUts8ZQVRdlQθPMHNφβα第五节空间几何体性质【知识梳理】1、柱体、锥体、台体、球的有关性质；2、展开图及内接、外接问题；3、不规则的图形的有关计算。【例题精析】[例1]1）一个棱柱是正四棱柱的条件是）A、底面是正方形，有两个侧面是矩形B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱2）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是）A、一定是正三棱锥B、一定是正四面体C、不是斜三棱锥D、可能是斜三棱锥3）在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为__________。sQsAEJkW5T4）棱锥的高为16cm,底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为__________.GMsIasNXkA5）把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。[例2]已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为,试求第三条侧棱长的取值范围．[例3]如图在三棱锥A—BCD中,平面ABC和平面BCD都是边长为的等边三角形,且,若从AB的中点M沿着三棱锥表面到达CD的中点N,求最短路线.TIrRGchYzg[例4]如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论．第六节空间几何体的表面积与体积【知识梳理】1、球的表面积和体积；2、圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积；3、棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积；4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。5/15【例题精析】[例1]1）直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为）7EqZcWLZNXA．B．C．D．2）半径为R的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为）lzq7IGf02EA、2πR2B、4R2C、2R2D、4πR23）平行六面体的棱长都是a，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该平行六面体的体积为）A．B．C．D．4）已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段MN个端点M上运动，另一端点N底面上运动，则MN点P轨迹曲面）与共一顶点D三个面所围成的几何体的体积为为__________。5）已知球的内接正方体的表面积为S，那么球的体积为_________。[例2]过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等。1）若∠APB=2α，求弦长关于α的函数表达式；2）求三棱锥P—ABC体积的最大值。[例3]一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。zvpgeqJ1hk[例4]如图在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底边AC=的等腰三角形，且，面与面ABC成，与交于点E。NrpoJac3v11）求证：；2）求异面直线AC与的距离；3）求三棱锥的体积。第七节空间向量及运算理）【知识梳理】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2．通过表示特殊长方体所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标；3．探索并得出空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离。【例题精析】[例1]1）在空间直角坐标系中，点1，2，－3）关于x轴的对称点的坐标是(A．1，－2，3）B．－1，2，3）C.－1，－2，3）D.1，－2，－3）1nowfTG4KI2）已知点A－1，－2，6），B1，2，－6），O为坐标原点，则O，A，B三点A．可以构成直角三角形B．可以构成钝角三角形C．可以构成锐角三角形D．不能构成三角形3）已知线段AB两端点坐标为A2，－3，4），B2，5，－3），则与线段AB平行的坐标平面）fjnFLDa5ZoA．是xoy平面B．是yoz平面C．是xoz平面D．不存在4）点A1，0，1），AB中点坐标为3，－4，9），则B点坐标是_________．5）与两点M1，0，0），N－1，0，0）等距离的点的坐标x,y,z满足的条件是__________．tfnNhnE6e5QPCBAC'B'A'6/15[例2]已知球心C1，1，2），球的一条直径的一个端点为A－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。HbmVN777sL[例3]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知C0，0，0）A10，1，1），B1，0，0），V7l4jRB8Hs1）求面对角线的长度；2）该三棱柱是否有外接球？若有，求出球的方程，若没有，说明理由．[例4]在三棱锥A—BCD中，AC=AB=DC=DB=2，AD=BC=1，求该三棱锥的体积．第八节投影与画图文）【知识梳理】1、投影，中心