同济第六版高数课后习题1

-1-习题111设A(5)(5)B[103)写出ABABA\B及A\(A\B)的表达式解AB(3)(5)AB[105)A\B(10)(5)A\(A\B)[105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律(AB)CACBC证明因为x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC所以(AB)CACBC3设映射fXYAXBX证明(1)f(AB)f(A)f(B)(2)f(AB)f(A)f(B)证明(2)因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)(2)因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)4设映射fXY若存在一个映射gYX使XIfgYIgf其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个xX有IXxx对于每一个yY有IYyy证明f是双射且g是f的逆映射gf1证明因为对于任意的yY有xg(y)X且f(x)f[g(y)]Iyyy即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1x2必有f(x1)f(x2)否则若f(x1)f(x2)g[f(x1)]g[f(x2)]x1x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射gYX因为对每个yY有g(y)xX且满足f(x)f[g(y)]Iyyy按逆映射的定义g是f的逆映射5设映射fXYAX证明(1)f1(f(A))A(2)当f是单射时有f1(f(A))A证明(1)因为xAf(x)yf(A)f1(y)xf1(f(A))所以f1(f(A))A(2)由(1)知f1(f(A))A另一方面对于任意的xf1(f(A))存在yf(A)使f1(y)xf(x)y因为yf(A)且f是单射所以xA这就证明了f1(f(A))A因此f1(f(A))A6求下列函数的自然定义域(1)23xy解由3x20得32x函数的定义域为),32[-2-(2)211xy解由1x20得x1函数的定义域为(1)(11)(1)(3)211xxy解由x0且1x20得函数的定义域D[10)(01](4)241xy解由4x20得|x|2函数的定义域为(22)(5)xysin解由x0得函数的定义D[0)(6)ytan(x1)解由21x(k012)得函数的定义域为12kx(k012)(7)yarcsin(x3)解由|x3|1得函数的定义域D[24](8)xxy1arctan3解由3x0且x0得函数的定义域D(0)(03)(9)yln(x1)解由x10得函数的定义域D(1)(10)xey1解由x0得函数的定义域D(0)(0)7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lgx2g(x)2lgx(2)f(x)xg(x)2x(3)334)(xxxf31)(xxxg(4)f(x)1g(x)sec2xtan2x解(1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同x0时g(x)x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8设3||03|||sin|)(xxxx求)6()4()4((2)并作出函数y(x)的图形解21|6sin|)6(22|4sin|)4(22|)4sin(|)4(0)2(9试证下列函数在指定区间内的单调性-3-(1)xxy1(1)(2)yxlnx(0)证明(1)对于任意的x1x2(1)有1x101x20因为当x1x2时0)1)(1(112121221121xxxxxxxxyy所以函数xxy1在区间(1)内是单调增加的(2)对于任意的x1x2(0)当x1x2时有0ln)()ln()ln(2121221121xxxxxxxxyy所以函数yxlnx在区间(0)内是单调增加的10设f(x)为定义在(ll)内的奇函数若f(x)在(0l)内单调增加证明f(x)在(l0)内也单调增加证明对于x1x2(l0)且x1x2有x1x2(0l)且x1x2因为f(x)在(0l)内单调增加且为奇函数所以f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)这就证明了对于x1x2(l0)有f(x1)f(x2)所以f(x)在(l0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(ll)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明(1)设F(x)f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x)f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x)f(x)g(x)[f(x)][g(x)]f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)g(x)F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)yx2(1x2)(2)y3x2x3(3)2211xxy(4)yx(x1)(x1)(5)ysinxcosx1(6)2xxaay解(1)因为f(x)(x)2[1(x)2]x2(1x2)f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x)3(x)2(x)33x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为)(111)(1)(2222xfxxxxxf所以f(x)是偶函数-4-(4)因为f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x)sin(x)cos(x)1sinxcosx1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为)(22)()()(xfaaaaxfxxxx所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)ycos(x2)解是周期函数周期为l2(2)ycos4x解是周期函数周期为2l(3)y1sinx解是周期函数周期为l2(4)yxcosx解不是周期函数(5)ysin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)31xy解由31xy得xy31所以31xy的反函数为yx31(2)xxy11解由xxy11得yyx11所以xxy11的反函数为xxy11(3)dcxbaxy(adbc0)解由dcxbaxy得acybdyx所以dcxbaxy的反函数为acxbdxy(4)y2sin3x解由y2sin3x得2arcsin31yx所以y2sin3x的反函数为2arcsin31xy(5)y1ln(x2)解由y1ln(x2)得xey12所以y1ln(x2)的反函数为yex12(6)122xxy解由122xxy得yyx1log2所以122xxy的反函数为xxy1log215设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)|M即Mf(x)M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1f(x)K2取Mmax{|K1||K2|}则MK1f(x)K2M即|f(x)|M这就证明了f(x)在X上有界-5-16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1)yu2usinx61x32x解ysin2x41)21(6sin221y43)23(3sin222y(2)ysinuu2x81x42x解ysin2x224sin)82sin(1y12sin)42sin(2y(3)uyu1x2x11x22解21xy21121y52122y(4)yeuux2x10x21解2xey1201eyeey212(5)yu2uexx11x21解ye2xy1e21e2y2e2(1)e217设f(x)的定义域D[01]求下列各函数的定义域(1)f(x2)解由0x21得|x|1所以函数f(x2)的定义域为[11](2)f(sinx)解由0sinx1得2nx(2n1)(n012)所以函数f(sinx)的定义域为[2n(2n1)](n012)(3)f(xa)(a0)解由0xa1得ax1a所以函数f(xa)的定义域为[a1a](4)f(xa)f(xa)(a0)解由0xa1且0xa1得当210a时ax1a当21a时无解因此当210a时函数的定义域为[a1a]当21a时函数无意义18设1||11||01||1)(xxxxfg(x)ex求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数的图形解1||11||01||1)]([xxxeeexgf即010001)]([xxxxgf1||1||e1||)]([101)(xexxeexfgxf即1||1||11||)]([1xexxexfg19