导数教案

1导数的背景一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是221gts（其中g是重力加速度）.当时间增量t很小时，从3秒到（3＋t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(tttstss从而，ttsv9.44.29.从上式可以看出，t越小，ts越接近29.4米/秒；当t无限趋近于0时，ts无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当t趋向于0时，ts的极限是29.4.当t趋向于0时，平均速度ts的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋t）这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(.如果t无限趋近于0时，ts无限趋近于某个常数a，就说当t趋向于0时，ts的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2：P（1,1）是曲线2xy上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.2析：设点Q的横坐标为1＋x，则点Q的纵坐标为（1＋x）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(xxxy，所以，割线PQ的斜率xxxxxykPQ2)(22.由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，PQk越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，PQk无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：12xy.一般地，已知函数)(xfy的图象是曲线C，P（00,yx），Q（yyxx00,）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率xykPQ无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线PQ的斜率xykPQ的极限为k.3.边际成本问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为103)(2qqC，我们来研究当q＝50时，产量变化q对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(qqqCqCC.产量变化q对成本的影响可用：qqC3300来刻划，q越小，qC越接近300；当q无限趋近于0时，qC无限趋近于300，我们就说当q趋向于0时，3qC的极限是300.我们把qC的极限300叫做当q＝50时103)(2qqC的边际成本.一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为0q时，产量变化q对成本的影响可用增量比qqCqqCqC)()(00刻划.如果q无限趋近于0时，qC无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为0q时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结瞬时速度是平均速度ts当t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy当x趋近于0时的极限；边际成本是平均成本qC当q趋近于0时的极限.导数的概念一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy4（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。3.xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00xfx）及点)(,(00xxfxx）的割线斜率。4.导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率。因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy。5.导数是一个局部概念，它只与函数)(xfy在0x及其附近的函数值有关，与x无关。6.在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成00000/)()(lim)()(lim)(0xxxfxfxxfxxfxfxxox。7.若极限xxfxxfx)()(lim000不存在，则称函数)(xfy在点0x处不可导。8.若)(xf在0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线存在。反之不然，若曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线，函数)(xfy在0x不一定可导，并且，若函5数)(xfy在0x不可导，曲线在点（)(,00xfx）也可能有切线。一般地，axbax)(lim0，其中ba,为常数。特别地，aax0lim。如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf＝/y＝xxfxxfxyxx)()(limlim00函数)(xfy在0x处的导数0/xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba)),((bax上导数)(/xf在0x处的函数值，即0/xxy＝)(0/xf。所以函数)(xfy在0x处的导数也记作)(0/xf。注：1.如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的0x换成x就可，即)(/xf＝xxfxxfx)()(lim04.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量)()(xfxxfy。（2）.求平均变化率xxfxxfxy)()(。6（3）.取极限，得导数/y＝xyx0lim。几种常见的导函数函数的和差积商的导数复合函数的导函数1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(ufy与)(xu复合而成的函数一般形式是)]([xfy，其中u称为中间变量．72.求函数2(32)yx的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812xyxxxx；方法二：将函数2(32)yx看作是函数2yu和函数32ux复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uyuu，(32)3xux两个导数相乘，得232(32)31812uxyuuxx，从而有xuxuyy'''对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且xuxuyy'''或f′x((x))=f′(u)′(x).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u=(x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.当Δu≠0时，由xuuyxy.且xyuyux00limlim.∴xuuyxuuyxuuyxyxuxxxx000000limlimlimlimlimlim即xuxuyy'''(当Δu＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．奎屯王新敞新疆