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1进入虚拟课堂高三数学同步辅导教材（第1讲）一、本讲进度§1.1—§1.4.统计课本P4—P27.二、学习指导统计就是通过对样本的研究来估计总体的相关情况。这种估计的可靠性，取决于两个方面：一是对样本恰当的采集，二是对样本进行适当的分析.1．在可能的情况下，样本容量越大越好．在确定样本容量后，对样本的采集的原则只有一条：公平性．即使每个个体被采入的概率相等（即若总体容量为N，样本容量为n，应使每个个体被采入的概率均为Nn）．为此，我们常用以下三种样本采集法：（1）简单随机抽样法．传统常用抽签法和随机数表法，一般适用于样本容量较小者.其中随机数表法初学者易产生一些误解，故应指出：①第二步中“任选一数”才能保证公平性，不必也不能每次都仿课本中例题那样选“5”,②课本例题中“向右”他是照顾阅读习惯而已，从理论上说，也可向左、向上、向下、向左下、向右上等方向，甚至可以有规律地“跳读”．但这不意味着“随意读”，如之类的读法，就人为地破坏了“公平性”．（前一句话中“有规律”的说法也是为了避免无意间破坏了这种“公平性”）③不需以为随机数表中两数一节，只适用于二位数，这只是便于你阅读的一种印刷方式而已，一位数，三位数等也适用；④统计工作者现在常用计算机来产生随机数，我们这两年耳熟能详“计算机派位”就是一例，又快又方便。（2）分层抽样．当总体由差异明显的几部分构成时，为了充分利用已有信息，同时也是为了更好地用样本估计总体，应采用分层抽样。但要注意：①每层中抽取的样本数应为n1·Nn（n1为该层总个数，n为样本容量，N为总体个数）；②在每层中应采用简单随机抽样。（3）系统抽样．当总体个数较多，且分成均衡的几个部分时，可采用系统抽样，这样省时省力，但应注意，在每个部分中的抽取规则必须对每一个体“公平”.2．用样本估计总体，一般应做如下几件事：（1）频率分布．先求样本数据中最大值与最小值的差，（称为极差），再确定合适的组数和组距，决定分点（每个分点只能属于一组，故一般采用半开半闭区间），然后列出频率分布表（准确，查数据容易），画频率分布直方图（直观）．（2）总体期望值的估计，计算样本平均值x=niix1.（3）总体方差（标准差）的估计：方差=n121)(niixx标准差S=方差方差（标准差）较小者较稳定。本章内容实践性很强，建议在弄清原理和频率的基础上从实习作业为龙头带动学习.三、典型例题讲评例1．某学院有四个饲养房、分别养有18、54、24、48只白鼠供实验用．某项实验需抽取24只，你认为最合适的抽样方法为（）（A）在每个饲养房各抽取6只；（B）把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机取样法确定24只；（C）在四个饲养房分别随手提出3、9、4、8只；（D）先确定这四个饲养房应分别抽取3、9、4、8只样品，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单2随机取样法确定各自己捕出的对象.依据公平性原则，根据实际情况确定适当的取样方法，是本题的灵魂.（A）中对四个饲养房平均摊派，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了各个体入选概率的不均衡，是错误的方法；（B）中保证了各个体入选概率的相等，但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异，不如采有分层抽养可靠性高，且统一偏号统一选择加大了工作量；（C）中总体用采了分层抽样，但在每个层次中没有考虑到个体的差异（如健壮程度，灵活程度）貌似随机，实则各个体概率不等。各饲养房必然会造成不同的差异，及同一饲养房中各个体的差异是初学者忽视的.例2．对某种新品电子元件进行寿命终极度实验.情况如下：寿命（h）100—200200—300300—400400—500500—600个数2030804030（1）列出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图.（2）估计合格品（寿命100—400h者）的概率和优质品（寿命40h以上者）的概率.（3）估计总体的数学期望值.通过此题初步体会统计在现实生产，生活中的作用，并了解相关步骤.例3．设nx、2nS分别表示样本（x1，x2，…，xn）的平均值和方差，1nx、21nS分别表示样本（x1，x2，…，xn+1）的平均值和方差，求证：（n－1）21nS=n2nS+)1(nn21)(nnxx本题是探求样本容量由n增大到n+1时，平均值及方差的变化情况．寻求21nS与2nS关系中遇到的第一个问题是，如何把1nx－ix转换为nx－ix？所以我们应选探求1nx与nx间的关系。且不难由1nx=111nxxxnn=1nnnx+11n1nx知1nx－ix=1nnnx－ix+11n1nx=nx－ix+11nxxnn.或1nn(nx－ix)+11nxxin．用哪一个形式好？看要证结论的形式便知应用前一种形式.于是，(1nx－ix)2=(nx－1nx)2+221)1()(nxxnn+12n(nx－ix)(1nx－nx)，（n+1）21nS=n2nS+(nx－1nx)2+(n+1)·221)1()(nxxnn+1)(21nxxnn[（n+1）nx－（x1+…+xn+xn+1）]=n2nS+1)(21nxxnn+（1nx－nx）2+1)(21nxxnn（nx－1nx）=n2nS+1)(21nxxnnn．前n项和与平均值，前n+1项和与平均值的关系虽然不复杂，但对初学者是生疏的，尝试着推出结论，对思维的发展不无益处．例4．某市农科所为寻找适合本市的优良油菜品种，在本市5个乡各选了条件相近的3块地，试种A、B、C三种油菜.每块试验田面积均为0.7公顷，试根据下表所列产量情况作一评选：（表中产量单位为kg）12345A21.520.422.021.219.9B21.323.6918.921.419.8C17.823.321.419.720.8为评定优劣，我们只须每块地（0.7公顷）的平均产量以估计产量的期望值及计算相应的标准差，以估计产量的稳定性即可.3例5．为考察某地区12个行政村3000名适龄青年的踽齿发病情况，欲从中抽取300人为样本进行分析，应采用哪种抽样较为合理？并简述抽样过程.一般来说，各行政村人数差异是不能忽略的，为保证每个适龄青年等可能入选，应采用分层抽样法，对每个村抽取其适龄人数的101．具体地可用简单随机抽样法产生，先把每个个青年编号制签，抽取即可.例6．在例5中，如果我们决定先从12个村中选抽3个村再从这三个村中抽取300个样本，为使12个村的每个适龄青年被抽取的概率相同，又应怎样取样？在三个村选定后，从这三个村选样本的情况应与例5类似（不过12改成了3而已）关键在于三个村怎样确定.做12个签，随意抽取3个显然是不公平的，设第m个村适龄人数为mi，该村每个适龄青年入选概率为123(ikjimmmm300)·im1=)(4100kjimmm(mj、mk为另两种签的村的适龄个数)而不再是（mi·300300）·im1=101.所以，为了保证每个适龄青年入选概率相等，选行政村时就不能等概率，而应让其中签的概率为121mmmi=3000im，这样每个适龄青年入围的概率仍是3000im·300·im1=101.当然，具体操作时，不可能那样精细，比方说，如果这12个村的适龄人数大约是1：1：1：1：2：2：2：2：2：3：3：3，则可制1×4+2×5+3×3=23个签，其中有3个是“中”，其余20个是“不中”，让村长抽签，比例是1的抽1个.比例是2的抽2个，比例是3的抽3个.例7．某次考试，某班的成绩写累积频率分布图如下，据此图，你能得到哪些结论？巩固练习1．A①教育局督学组到学校检查工作，临时需在每个班各抽调二人参加座谈；②某班期中考试有15人在85分以上，40人在60～84分，1人不及格，现欲从中抽出八人研讨进一步改进教和学；③某班元旦聚会，要产生两者“幸运者”对这三件事，合适的抽样方法为（）（A）分层抽样，分层抽样，简单随机抽样（B）系统抽样，系统抽样，简单随机抽样（C）分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样（D）系统抽样，分层抽样，简单随机抽样累积频率成绩10090140302010184807060504123142A已知一个样本：25、21、23、25、27、29、25、28、30、29、26、24、25、27、26、22、24、25、26、28、试以2为组矩，列出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图，并由此估计总体在22～28间的概率.3A实习作业，题目：我校毕业班的周作业量调查.要求：写出样本采集过程及全部样本数据，写出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图，算出数学期望.参考答案：1．D2．极差=30－21=9。组矩2，故分为5组。频率分布表频数频率累积频率20.5～22.520.10.122.5～24.530.150.2524.5～26.580.40.6526.5～28.540.20.8528.5～30.530.151频率分布直与图累积频率分布图22～28间的概率约为0.85－0.1=0.75附录例1．总体个数为18+54+24+48=14414424=6118×61=354×61=448×61=8故各饲养房各采集容量为3、9、4、8的样本，由于各个体易捕捉程度不一，故不能随手抓捕.选（D）例2．频率分布表寿命（h）频数频率累积频率100—200200.100.10200—300300.150.25300—400800.400.65400—500400.200.8530.520.526.522.524.528.5组矩频率0.224.520.5022.530.528.526.5150500—600300.151合计2001寿命100～400h的频率为0.65，400～600h的频率为0.35估计总体均值2200100×0.01+2300200×0.15+2400300×0.40+2500400×0.20+2600500×0.15=365（h）例3．1nx=111nxxxnn=11nxxnnn=1nnnx+11nxn∴1nx－kx=x－kx－11nxxnn∴（1nx－kx）2=（nx－kx）2－1))((21nxxxxnnkn+221)1()(nxxnn∴（n+1）21nS=（nx－1x）2+…+（nx－nx）2+（nx－1nx）2－1)(21nxxnn（（nx－1x）+…+（nx－nx）+（nx+1nx））+1)(21nxxnn=2nnS+12nn（nx－1nx）2－1)(21nxxnn（nx－1nx）=2nnS+1nn（nx－1nx）2例4．Ax=21Bx=20.8Cx=20.62AS=2.862BS=13.632CS=16.62A品种平均产量期期望最值高，且稳定，应入选．例5．（略）例6．（略）例7．没有50分以下，没有90分以上。50～60占161，0.4寿命(t)频率分布直方图2001000.2500400300600频率组矩0.4累积频率分布图4000.2200100300寿命500600(h)10.80.6累积频率660～70占163，70～80占一半，80～90占41．