寒假数学第6讲《因数与倍数进阶》

+五年级第6讲因数与倍数进阶（C版）1因因因数数数与与与倍倍倍数数数进进进阶阶阶666(1)计算：3,43,4，6,126,12，6,86,8，9,159,15，你发现了什么规律?请用一个字母恒等式来表示你发现的规律：______________________。(2)计算：4646(,)[,]3535=_______，147147(,)[,]15121512=_______。(3)计算：(6,8,10)6,8,10=_________。[短除模型]★【分析】（1）12，72，48，135，,,ababab；（2）4,64,64646468(,)[,]35353,53,5355，14714714749(,)[,]15121512151290；（3）(6,8,10)6,8,10=2×120=240.【教学提示】此例题重点在于公式,,ABABAB，从整数可以推广到分数，对于分数的最大公因数和最小公倍数的内容，可以在五秋第1讲因数与倍数初步的C版讲义中找到。但是不能推广到三个数的情况，第三小问指出了这一点，对于三个数只有以下公式成立：.教师除了讲这三小问之外，还应当铺垫知识剖析中短除模型第（1）条的内容，-------------------------------------------------------------------------------------------例1了解勾股定理历史，定义了解勾股定理和弦图的证明利用平方差公式和勾股定理解决五年级第6讲因数与倍数进阶（C版）2为后面例题作准备。（1）已知两个自然数的最大公因数为7，最小公倍数为84，求这两个数的和．（2）已知两个自然数的最大公因数为36，和为432，求这两个数的最小公倍数．[短除模型]★★【分析】（1）利用短除模型7ABab，最大公因数是7ab=84，所以ab=12，根据a，b互质，将12拆成两个互质数相乘，只能是12=1×12，12=3×4，此时两个数分别是7，84或者21，28，两个数的和为91或49.（2）根据短除模型，两数分别设为36a，36b，其中a，b互质，并且36a+36b=432，即4321236ab。将12拆分为两个互质自然数的和：111ab，57ab，最小公倍数为36ab，相应的是36×1×11=396，36×5×7=1260.已知两个自然数的和为45，最小公倍数为168，求这两个数。[短除模型]★★-------------------------------------------------------------------------------------------练一练-------------------------------------------------------------------------------------------例2五年级第6讲因数与倍数进阶（C版）3【分析】设这两个数分别是A，B，利用短除模型dABab，可知da+db=45，dab=168.从例题中我们可以知道关键是先求出最大公因数d，注意到d同时是45,168的因数，所以d是45,1683的因数，所以1d或3．（1）当1d时，45ab，3168237ab，168=1×168=2×84=3×56=4×42=6×28=7×24=8×21=12×14，但没有一对的和为45，此时不符合。（2）当3d时，15ab，56ab，56=1×56=2×28=4×14=7×8，其中7+8=15，此时符合。3721Ada，3824Bdb.已知两个自然数的和为60，它们的最大公因数与最小公倍数的和为84，求这两个数。[短除模型]★★★【分析】根据短除模型dABab，联系题意可列出：60dadb，84ddab.即()60dab，(1)84dab，这说明d是60与84的公因数．由于608412（，），所以d是12的因数，即1d，2，3，4，6，12．不难验证当1d，2，3，4，6时，找不到满足条件的,ab．仅当12d时，5ab，6ab，所以a=2，b=3.两数分别是2×12=24，3×12=36.-------------------------------------------------------------------------------------------例3五年级第6讲因数与倍数进阶（C版）4(1)求300，1548的因数个数以及所有因数之和.(2)4008004有多少个奇因数?所有奇因数之和是多少?(3)4008004有几个末位为1的因数?所有末位为1的因数之和是多少?[因数个数（和）定理]★★★【分析】（1）22300235，因数个数是(2+1)×(1+1)×(2+1)=18，因数之和为22(122)(13)(155)868.2215482343，因数个数是(2+1)×(2+1)×(1+1)=18，因数之和为22(122)(133)(143)713444004.（2）4008004=2222271113，所有的奇因数相当于22271113的因数，个数为(2+1)×(2+1)×(2+1)=27，和为222(177)(11111)(11313)=57×133×183=1387323.（3）末位是1的话，那么不能选2,选的7和13个数要相同，相当于把7×13作为一个整体来选，即看成22(713)11，末位是1的因数个数是(2+1)×(2+1)=9，末位是1的因数之和为22(19191)(11111)83731331113609.求496除本身之外的全部因数之和.[因数个数（和）定理]★★【分析】4496231，因数之和为234(12222)(131)31324962，除本身之外的因数之和为4962496496.-------------------------------------------------------------------------------------------练一练-------------------------------------------------------------------------------------------例4五年级第6讲因数与倍数进阶（C版）5已知a的全部因数和是a+14，求a的值.[因数个数（和）定理]★★【分析】由于1和a都是a的因数，所以除了这两个因数之外剩下的因数和应该是a+14-a-1=13.枚举出将13拆成若干个大于1的不同的数之和的情况：（1）13=13，此时a只有1，13，a这些个因数，那么只能是213169a;（2）13=2+11，此时a只有1，2，11，a这些因数，只能21122a；13=3+10=4+9=5+8=6+7，此时至少有一个大于2的偶数因数，那么2也必定是因数，不符合。（3）13=2+3+8，此时必定有因数4，不符合；13=2+4+7，此时a只有1，2，4，7，a，但14和28也都是因数，不符合；13=2+5+6，此时必定有因数3，不符合；（4）2+3+4+5=1413，此情况不可能。综上所述，a=169或22.（1）已知3a有28个因数，那么a有几个因数?（2）已知a有30个因数，b有60个因数，其中有18个因数是公因数.那么[,]ab有多少个因数?[因数个数定理逆应用]★★★【分析】（1）28=2×14=4×7=2×2×7若327ap，则9ap，a有9+1=10个因数；-------------------------------------------------------------------------------------------例6-------------------------------------------------------------------------------------------例5五年级第6讲因数与倍数进阶（C版）6若3113apq，不可能；若336apq，则2apq，a有(1+1)×(2+1)=6个因数；若3116apqr，不可能.（2）公因数都是最大公因数的因数，这说明,ab恰有18个因数，根据公式()()(,)(,)dadbdabdab，可得3060(,)10018dab，即[,]ab有100个因数.已知自然数a有18个因数，那么2a最多有几个因数?[因数个数定理逆应用]★★【分析】18=2×9=3×6=2×3×3.（1）17ap，则234ap有34+1=35个因数；（2）8apq，则有(2+1)×(16+1)=51个因数；（3）25apq，则2410apq有(4+1)×(10+1)=55个因数；（4）22apqr，则有(2+1)×(4+1)×(4+1)=75个因数.综上所述，2a最多有75个因数。（1）有多少个能被30整除，且恰有30个不同因数的自然数?（2）有多少个能被210整除，且恰有210个不同因数的-------------------------------------------------------------------------------------------例7-------------------------------------------------------------------------------------------练一练五年级第6讲因数与倍数进阶（C版）7自然数?（3）有多少个能被12整除，且恰有12个不同因数的自然数?最小是几?[因数个数定理逆应用]★★★★【分析】（1）由于30235，自然数N能被30整除，那么自然数N至少含有三个质因数2，3，5．设．自然数N恰有30个不同的因数，根据因数的个数公式：(1)(1)(1)30235abcL，由于30最多分解成3个大于1的数的乘积，而N又至少有3个不同质因数，因此只能是235abcN的情形，且，由此可知(,,)abc必是(1,2,4)的一个排列，共有336A种情况，也就是有6个这样的自然数。（2）由于210=2×3×5×7自然数N能被30整除，那么自然数N至少含有4个质因数2，3，5，7．设2357abcdNL．自然数N恰有210个不同的因数，根据因数的个数公式：(1)(1)(1)(1)2102357abcdL，由于210最多分解成4个大于1的数的乘积，而N又至少有4个不同质因数，因此只能是2357abcdN的情形，且(1)(1)(1)(1)2357abcd，由此可知(,,,)abcd必是(1,2,4,6)的一个排列，共有4424A种情况，也就是有24个这样的自然数。（3）由于21223，自然数N能被12整除，那么自然数N至少含有2个质因数2，3.设23abNL.自然数五年级第6讲因数与倍数进阶（C版）8N恰有12个不同的因数，根据因数的个数公式：(1)(1)12abL，其中2a，1b.若a=2，b=1，此时N还有另一个质因数，也就是223Np，无穷多种情况，这种情况下，最小值为223560；否则的话，只能(1)(1)12ab，根据12=3×4=4×3=6×2，可得到(,)ab的情况有(2,3)，(3,2)，(5,1)，相应的2323108N，322372，52396.综上所述，一共有无穷多种情况，最小的情况是N=60.100名运动员编号为1-100，每名运动员都