专题08-解析几何-2020年高考数学(文)二轮专项复习

专题08解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O，A，B为数轴上任意两点，OB＝x2，OA＝x1，称x2－x1叫做向量AB的坐标或数量，即数量AB＝x2－x1；数轴上两点A，B的距离公式是d(A，B)＝|AB｜＝|x2－x1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A，B为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212yyxxABBAdA，B两点的中点M(x，y)的坐标公式是2,22121yyyxxx3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O－xyz中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212zzyyxxABBAd【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB＝a，AD＝b，则A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，设P(x，y)，则22222222))()(()(byaxyxPCPA＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，22222222))(())((byxyaxPDPB＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3已知空间直角坐标系中有两点A(1，2，－1)，B(2，0，2)．(1)求A，B两点的距离；(2)在x轴上求一点P，使｜PA|＝｜PB|；(3)设M为xOy平面内的一点，若|MA｜＝｜MB｜，求M点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222AB(2)设P(a，0，0)为x轴上任一点，由题意得222)10()20()1(a，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P(1，0，0)．40)2(2a(3)设M(x，y，0)，则有整理可得x－2y－1＝0．所以，M点的轨迹方程为x－2y－1＝0．【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A，B，C的坐标分别为3，－1，－5，则AC＋CB等于()A．－4B．4C．－12D．122．若数轴上有两点A(x)，B(x2)(其中x∈R)，则向量的数量的最小值为()A．B．0C．D．3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz平面的对称点是()A．(1，－2，－3)B．(1，2，3)C．(－1，－2，3)D．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A(－2，5)，B(1，－4)，P(x，y)，且｜AP|＝｜BP|，则实数x，y满足的方程为()A．x＋3y－2＝0B．x－3y＋2＝0C．x＋3y＋2＝0D．x－3y－2＝0二、填空题5．方程｜x＋2｜＝3的解是______；不等式｜x＋3｜≥2的解为______．6．点A(2，3)关于点B(－4，1)的对称点为______．7．方程｜x＋2｜－｜x－3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝3，|DC｜＝4，|DD1|＝2，A1C的中点为M，则点B1的坐标是______，点M的坐标是______，M关于点B1的对称点为______．,4)0()2()10()2()1(22222yxyxAB214141图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．§8－2直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线．．．．．．2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角的取值范围是0°≤＜180°．我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率．．．设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线y＝kx＋b上任意两点，其中x1≠x2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为的直线的斜率k＝tan(≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y－y1＝k(x－x1)；斜截式：y＝kx＋b；两点式：一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(1)l1与l2相交A1B2－A2B1≠0或(2)l1与l2平行(3)l1与l2重合当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则l1与l2相交k1≠k2；l1∥l2k1＝k2，b1≠b2；l1与l2重合k1＝k2，b1＝b2．5．两条直线垂直的条件设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0．当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2k1k2＝－1．1212xxyyk);,(2121121121yyxxxxxxyyyy)0(222121BABBAA).0(;00,0222212121211221211221CBACCBBAACACABCCBBABA或或而).0();0(,,222212121222111CBACCBBAACCBBAA或6．点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A(2，3)，B(－3，2)，C(－1，－1)，过点C且斜率为k的直线l与线段AB相交，则斜率k的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为所以此直线的斜率为，倾斜角(2)如图8－2－1，设直线AC的倾斜角为，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以设直线BC的倾斜角为，因为此直线的斜率为2211||BACByAxd082yx082yx，22822xy22;22tanarcπ341213ACk;34tan,231312BCk所以因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角满足≤≤，由正切函数图象，得tan≥tan或tan≤tan，故l斜率k的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角，当≠90°时，k＝tan；②已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，k＝；③已知直线的方程Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，k＝．(2)已知直线的斜率k求倾斜角时，要注意当k0时，＝arctank；当k0时，＝－arctan|k|．例2根据下列条件求直线方程：(1)过点A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P(－2，1)，且点Q(－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y－3＝k(x－2)，或x＝2(舍)，令y＝0，得x＝2－(k≠0)；令x＝0，得y＝3－2k，由题意，得2－＝3－2k，解得k＝或k＝－1，所以，所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0；(2)设所求直线方程为y－1＝k(x＋2)或x＝－2，当直线为y－1＝k(x＋2)，即kx—y＋(2k＋1)＝0时，由点Q(－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得，23tan]23,[],34[k1212xxyyBAk3k3231|122|2kkk34k所以，直线，即4x＋3y＋5＝0符合题意；当直线为x＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x＋3y＋5＝0或x＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3已知直线l1：(m－2)x＋(m＋2)y＋1＝0，l2：(m2－4)x—my－3＝0，(1)若l1∥l2，求实数m的值；(2)若l1⊥l2，求实数m的值．解法一：(1)因为l1∥l2，所以(m－2)(－m)＝(m＋2)(m2－4)，解得m＝2或m＝－1或m＝－4，验证知两直线不重合，所以m＝2或m＝－1或m＝－4时，l1∥l2；(2)因为l1⊥l2，所以(m－2)(m2－4)＋(－m)(m＋2)＝0，解得m＝－2或m＝1或m＝4．解法二：当l1斜率不存在，即m＝－2时，代入直线方程，知l1⊥l2；当l2斜率不存在，即m＝0时，代入直线方程，知l1与l2既不平行又不垂直；当l1，l2斜率存在，即m≠0，m≠－2时，可求l1，l2，如的斜率分别为k1＝－，k2＝，截距b1＝－，b2＝，若l1∥l2，由k1＝k2，b1≠b2，解得m＝2或m＝－1或m＝－4，若l1⊥l2，由k1k2＝－1，解得m＝1或m＝4综上，(1)当m＝2或m＝－1或m＝－4时，l1∥l2；(2)当m＝－2或m＝1或m＝4时，l1⊥l2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各