第一讲-因数与倍数初步

2013-2014学年·秋季五年级知识点总结学而思培优北京分校·小学理科教研组出品1第一讲因数与倍数初步本讲主要学习求最大公因数与最小公倍数的方法和技巧，并解决实际问题，最后利用分数的最大公因数和最小公倍数体会综合运用因倍解决实际问题的奥妙.【点评】请注意：本讲的所有题目的讨论范围都是在正整数范围内的.【重要知识点】短除法求最大公因数和最小公倍数：短除法其实是同时给两个数分解质因数，直到商互质为止.如2121836923，所以(12,18)236；[12,18]232336.【点评】“最大公因乘一边，最小公倍乘半圈”短除模型：mABab，有(,)1ab，(,)ABm，[,]ABmab；Ama，Bmb；(,)[,]ABABABmmab.求分数最大公因数：先通分，再取分子的最大公因数.通分过程即求分母最小公倍的过程，通分前后分子的最大公因数是不变的，因为通分时两个分母所乘的数是互质的.求分数最小公倍数：分子的最小公倍数一定是两个分数的公倍数，是不是最小的取决于分母是否互质.如（1），[4,5]20，5202056466，4202041551515，公倍数20除以两个分数的商不互质，是因为分母6和15不互质，因此还应除以分母的最大公因数，以保证所得为最小．．公倍数.【点评】子同母反：(,)(,)[,]acacbdbd；[,][,](,)acacbdbd辗转相除法：依据因数与倍数的性质，两个数的因数也是这两个数差的因数，因此每次都用除数与余数相除，直到可以整除为止，此时的除数即两个数的最大公因数.辗转相除法适用于两个数较大的情况，该法也可以判断两个数是否互质.用辗转相除法求多个数的最大公因数，可以先求两个数的最大公因数，再求这个最大公因数与第三个数的最大公因数.这样依次下去，直到最后一个数为止.最后所得的一个最大公因数，就是所求得到几个数的最大公因数.【扩展阅读】约数和因数的区别：1、数域不同：约数只能是正整数，而因数可以是任何非0数.2、关系不同：约数是对两个正整数的整除关系而言；而因数是对它们的乘积关系而言的.例如在小数中2.4×0.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数.在数论问题中，因数和约数的含义是相同的.新课改将约数改为因数，但一些老题中仍可见到“约数”这样的叫法.2013-2014学年·秋季五年级知识点总结学而思培优北京分校·小学理科教研组出品2【具体题目和方法】【第一单元1】（1）请你将12分解质因数，写出12的所有因数，并列举几个12的倍数；（2）再将18分解质因数，写出18的所有因数，并列举几个18的倍数；（3）在12和18的因数中，哪些是12和18公有的因数？其中最大的是哪个？（4）在12和18的倍数中，哪些是12和18公有的倍数？其中最小的是哪个？【答案】12分解质因数为223，18分解质因数为233；12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，故其公共的因数是1、2、3、6，最大的是6；12的倍数有12、24、36、48、60、72、84、96、108、……，18的倍数有18、36、54、72、90、108、……故其公共的倍数有36、72、108、……，最小的是36；【点评】本题可以总结一点因倍的性质，比如：若干个数的公因数都是其最大公因数的因数；若干个数的公倍数都是其最小公倍数的倍数；更多的性质请见最后一页.但同时本题也暴露出一个问题：难道每一道题都要枚举因数与倍数？显然枚举法的实用性太差，于是我们有了下面的方法：短除法.其实本题中最重要的两个式子往往会被忽略，那就是两个分解质因数的式子.这两个式子揭示了12与18的本质，故其最大公因数、最小公倍数的信息都包含在其中：1222318233，可见最大公因数、最小公倍数分别为236223336；所以求解最大公因数、最小公倍数的一个好方法是分解质因数.短除法的本质即是同时对两个数分解质因数.最大公因数：你也有，我也有；最小公倍数：大家有才是真的有.【第二单元5】一个两位数与133有大于1的公因数，它们的最大公因数最大可能是多少？此时，这个两位数最大是多少？【分析】133719，133的两位因数中最大为19，19的倍数中最大两位数为95.【第二单元7】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？【分析】902335；105357；1262337由题意可知，甲一定是233的因数；乙一定是35的因数；丙一定是37的因数.由于甲乙两数的最小公倍数是902335，而乙中最多只有一个因数3、一个因数5，所以甲中一定包含一个因数2，两个因数3，所以甲22318．【第一单元3】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数：（1）18,24,30；（2）24,36,90；（3）30,60,752013-2014学年·秋季五年级知识点总结学而思培优北京分校·小学理科教研组出品3【分析】短除法.见下表：（1）（2）（3）最大公因数最小公倍数最大公因数最小公倍数最大公因数最小公倍数3182430268103453182430268103453243690281230461532436902812302461532315215530607536121524553060753612152245125326323453603263223253605315532125300【点评】3个或3个以上的数求解最大公因数、最小公倍数时要注意：最大公因数除到互质；最小公倍数除到两两互质.【第一单元4】求下面每组数的最大公因数：（1）（600,1515）（2）（3553,1411）【分析】（1）15156002315；6003151285；315285130；28530915；301520；所以，1515,60015；（2）355314112731;14117311680;731680151;680511317；511730，所以，3553,141117．【点评】第（1）题还可看出两数的一些公因数，但第（2）题想看出公因数是非常困难的，这暴露出短除法的一个重大弊端：短除法只是理论方法，缺少实际可操作性.第（2）题可用辗转相减（除）法解决.辗转相减（除）法的理论依据是：两个数的（最大）公因数也是这两个数差的（最大）公因数.这个性质是第二单元题目的最重要求解思路，也是数论中一个非常重要的定理.证明过程无需向学生展示，但一定要举一些具体的例子来让学生体会差的重要性.比如下面的例子：【拓展】求100000和100004的最大公因数.【分析】无需使用短除法，所求数必定为两数差（即4）的因数，依次尝试4、2、1，发现答案为4.【拓展】求99999和100003的最大公因数.【分析】无需使用短除法，所求数必定为两数差（即4）的因数，依次尝试4、2、1，发现答案为1，即两数互质.【拓展】求588和504的最大公因数.【分析】无需使用短除法，所求数必定为两数差（即84）与较小数504的最大公因数；发现504846，故知答案即为84.2013-2014学年·秋季五年级知识点总结学而思培优北京分校·小学理科教研组出品4【作业5】用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数．【分析】首先，每个数的数字和都是45，故知这些数都含有因数9，所以本题答案是9的倍数；其次，任意两数之差都将限制这些数的最大公因数的大小.比如123456789和123456798这两数的差是9，故知本题答案是9的因数；综上，本题答案为9.【点评】总结两种求解最大公因数、最小公倍数的方法特点如下：短除法辗转相减（除）法优点有明显的公因数时，解题速度很快，同时准确性也很高可以求解任意数的最大公因数、最小公倍数，无需考虑质因数分解缺点无法求解含有复杂质因数的题目，除非对质数逐个枚举解题过程较长，速度慢【第一单元5】通过第一单元的学习，总结概括最大公因数与最小公倍数的性质.【最大公因数的性质】（1）两个数都除以它们的最大公因数，所得的商互质；（2）两个数的任意公因数，都是这两个数的最大公因数的因数，也是这两个数和、差、积的因数；（3）两个数同时扩大n倍，它们的最大公因数也扩大n倍；两个数分别乘上一组互质的数，它们的最大公因数不变.【最小公倍数的性质】（1）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．（2）两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．（3）两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．