北航考研通信类大综合之电磁场(北航内部资料)第8讲标量位的性质

标量位的性质电子信息工程学院内容、重点及作用内容：标量位的性质：极值定律，中值定律，唯一性定律,镜像法重点：从物理概念上理解标量位的三个性质。作用：对于电磁场的边值问题，在具体数值分析之前，首先从物理概念上有一个定性的判断。极值定理如果标量位在区域V内不为常数，而且又满足拉普拉斯方程，则在V内不可能存在标量位的极大值和极小值。rr简单证明（反证法）假设标量位在处存在极值，根据极值的概念，应有r0r0000zryrxr简单证明如果为极大值0r0202xr0202yr0202zr0r如果为极小值0202xr0202yr0202zr简单证明r020202202202zryrxr不论是极大值还是极小值，都有显然，只要V内存在极值点，V内的标量位就不满足拉普拉斯方程。从物理概念上的分析拉普拉斯方程是无荷域内电场满足的方程。如果V内存在标量位的极值点，在极值点的附近一定存在取值不等于极值点标量位值的标量位等值面；电场的方向指向标量位降低的方向，因此一定有电力线从这点发出或汇入这点。有电荷存在极大值极小值平均值定理如果标量位在区域V内满足拉普拉斯方程，则V内任意一点的电位值都等于V内以该点为球心的球面上电位值的平均值。r02r24RSdarSdaSdarP02P格林定理如果两个标量位函数在一个体积V内及V的表面S上是良态的，则有)(),(rrfSVdVffadf2SVdVffadff22格林定理的证明思路：令，由高斯定理证明。fA由高斯定理dVfadffAdVAadAVSVSfffff2VSVffadf2由高斯定理VVSdVffdVffffadff2222平均值定理证明的难点,f难点：如何巧妙的选取两个标量函数学习证明思路的要点：通过模仿例题的选取方法，反过来思考两个标量函数的选取。将坐标原点取在P点，S是的球面，体积为,两个标量函数的选取：RrsSV平均值定理的证明02PR将坐标原点取在P点,S是的球面，体积为,两个标量函数的选取：RrsSV00,22ffsr1在P点不收敛，将P点挖除平均值定理的证明012srSSadsrsr011SSVsVdVsradsrsr1211在内VV平均值定理的证明SadsrsrSadsrsr1111等式左端第一项：VdVSadSadsr021'11法方向反向Sadsr01同理等式右端第一项平均值定理的证明SadsrSadsr112ˆ1SrSriSrSrdaiaddaRSadsrsˆ,112平均值右端：左端使用积分中值定理其中包括了两个负号的对消：一个来自面元，一个来自梯度SadSr1Sda'21'424'21PP取极限PP'0limSdrRP241作业：证明平均值定理平均值定理的应用niCinP11432141P唯一性定理如果一个标量函数在某区域内满足泊松方程（包括拉普拉斯方程），且在该区域边界上，该标量函数的值给定,则在该区域上的标量函数有唯一的解；如果在该区域的边界法向上，该标量函数的导数值给定，则在该区域中，除一个常数外，标量函数有唯一的解，该标量函数的梯度有唯一的解。rSS)(rfSn唯一性定理的证明反证法：假设在区域V内存在两个取值不同的电位，满足同样的场方程和边界条件21,022,012rrrr在V内rSSS21在边界上)(21rfSnSn或反证法证明必然相同，为此假设21,210满足的方程和边界条件为002212020210sss对第一类边界条件：因为满足拉普拉斯方程，根据极值定理，在V内不存在极值，极值出现在边界上。而在边界上等于零，所以在V内只能有0000021对第二类边界条件)(21rfSnSn0满足0210SnSnSn由格林第一公式SVdVffadf20rfr选取dVVadS0002000有020证明dVVadS0002000满足拉普拉斯方程dVVadS000002000dVVdVV0证明02000常数021常数除了一个任意常数外，电位唯一第一与第二类边界条件的混合边界条件rfSnrSS211S2S21SSS反证法证明假设在区域V内存在两个取值不同的电位，满足同样的场方程和边界条件21,022012rrrrrSSS1211在边界上：1S在V内在边界上2S假设210满足的方程为002212020121110sss边界条件：在上:1S在上：2S0222120SnSnS)(2221rfSnSn:2S证明思路•因为满足拉普拉斯方程，根据极值定理，在V内不存在极值，极值出现在边界上。•而在边界上，只是在上等于零，所以此时还无法证明V内。00001S0证明由格林第一公式SVdVffadf20rfr选取在边界上：S在上，2S00ndanadSS000022在上，1S00重点dVVadadadSSS0002000000021所以等式右端为零。等式右端000020dVV满足拉普拉斯方程02000dVVdVV020结论02000常数0而在上，1S00所以21唯一性定理的应用镜象法：用一组适当配置的电荷系统替代需要求解的给定系统，简化求解过程。这组电荷系统的解应与所要求的解满足相同方程和边界条件。根据唯一性定理，要满足上述条件，新配置的电荷不能进入原求解区域（不改变场方程）；共同维持原有的边界条件（不改变边界条件）。新配置的电荷称为镜象电荷镜象法举例例1、无穷大接地平面上的点电荷的场。例2、接地角域内放置点电荷的场。只要角域的角度为，n为正整数，均可以用镜象法求解。镜象电荷系统为2n个正负相间的点电荷。00zr0Srrn接地角域23接地导体球外放置一点电荷RdqRdq'q0RSrr0Srr22RbddRb或RqdqqdRq''或接地导体球内放置一点电荷Rdq关于泊松方程特解证明详细过程详见教材页86.pp接地无穷大平面上放置偶极子作业•Pp134:17，18，19，21，22，25•预习：分离变量法