高等数学同步练习题

高等数学同步练习题第一部分函数1.求下列函数的定义域：(1)1)1ln(12xxy；(2)][1axy.2.讨论下列哪些函数相同：(1)xln2与2lnx；(2)2x与x；(3)x与xxsgn.3.讨论下列函数奇偶性：(1))1ln(2xxy；(2)xexy2；4.(1)设52)2(2xxxf，求)2(xf；(2)设xefx)1(，求)(xf；(3)设221)1(xxxxf，求)(xf.5.设111011)(xxxxf，xexg)(，求)]([xgf和)]([xfg并作出这两个函数的图形。第二部分一元微分学一、求导数1.若函数)(xf在a可导，计算(1)ahafhfah)()(lim;(2)hhafafh)()(lim0;(3)hafhafh)()2(lim0;(4)hhafhafh2)()2(lim0.2.求导数:(1)xy;(2)53xxy.(3)xy1(4)531xxy3.求下列曲线在指定点的切线及法线方程(1))1,1(1在点xy处;(2))21,3(cos在点xy处.(3)求2xy在点)0,1(处的切线4.若函数)(xf在a处可导，计算)]()1([limafnafnn.5.如果)(xf为偶函数，且)(xf存在，证明0)0(f.6.计算函数0001)(1xxexxfx在点x=0的左右导数.7.计算函数cxbaxcxxxf2)(在c的右导数，当a、b取何值时，函数)(xf在c处不连续、连续及可导？8.已知)(,00sin)(xfxxxxxf求.9.求下列函数的导数:(1)6324xxy;(2)5123xxy;(3)xxxy133;(4))21)(1(23xxy;(5)221xxy;(6)xxxycossin;(7)xxyln;(8)xxxycottan;(9)xxy4;(10)xexy2;(11)xxyarcsin;(12)xxyarctan;(13)xxxxysinsin;(14)xxyarccos2;(15)xxyln;(16)11xxy;(17)143522xxxy.10.求下列函数的导数:(1)22)32(xy;(2)22axy;(3)xxy11;(4)xxxy;(5)xxy3cossin2;(6))tan(baxy;(7)xxy3cos2sin;(8)xy5cot2;(9)xysinln;(10)xy2cosln;(11)xaxaxxy2222)ln(;(12)54xey;(13)xaey;(14)2)(arcsinxy;(15))1arctan(2xy;(16)xxxy)1(;(17)xxxysin1ln;(18)xxycos)(sin;(19)211xy.11.设函数)(xf和)(xg可导，且0)()(22xgxf，试求函数)()(22xgxfy的导数.12.设)(),(xgxf可导，求下列函数y的导数dxdy(1))(2xfy(2))(cos)(sin22xgxfy13.求下列各题的二阶导数:(1)21xxy;(2)teytsin;(3)21arcsinxxy;(4)113xy;(5))1ln(2xxy.14.设)(xf存在，求下列函数y的二阶导数22dxyd.(1))(xefy;(2))](ln[xfy.15.求下列函数的n阶导数的一般表达式:(1))1(1xxy;(2)xxyln;(3)xy2sin.16.求由下列方程所确定的隐函数y的导数xydd(1))cos(yxy(2)yxey1(3)0xyyx17.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22ddxy(1)122yxyx;(2);22lnarctanyxxy(3);)tan(yxy.18.已知yxxybae证明0)(2)ln(2yyay.19.求由下列参数方程所确定的函数y的导数(1)2)1(11ttytx;(2)tbytax33sincos.20.求由下列参数方程所确定的函数y的二阶导数22ddxy(1)23)1ln(ttyttx;(2)存在且不等于零设)()()()(tftftftytfx21.求下列函数的微分dy(1)xxysin2(2)xxxyln(3)xytanln(4)21arcsinxy22．计算下列函数)(xyy的导数.dxdy：⑴xdtty02;)1cos(⑵20;)1ln(xdtty⑶1;xtdttey⑷xxtdteycossin;2⑸ttuduyduux00sin)cos1(;⑹402cossin2tyduuxt;⑺.0cos00xyyttdtdte二、求极限1.计算下列各极限：(1)15lim3xxx；(2)；15865lim223xxxxx(3)；hxhxh220)(lim(4)；)1113(lim31xxx(5)；121lim22xxxx(6)；31lim2xxxx(7);157134lim32xxxxx(8);xxx1sinlim20(9);nknnk12lim(10);))1(1321211(limnnn2计算下列各极限：(1)203050)3()12()52(limxxxx;(2)11sin11lim22xxxxx;(3)134lim2xxx;(4)xxxx11lim0;(5)1lim21tttt;3.如果51lim21xbaxxx，求a与b的值。4已知3221lim()21xaxbxxx，求a与b的值。5.计算下列极限：(1)xaxxsinlim0；(2)xxx23tanlim0；(3)axaxaxsinsinlim；(4)202cos1limxxx；(5)；nnnx2sin2lim(6)；xxxsinlim6.计算下列极限：(1)nnnn)1(lim；(2)xxx)21(lim；(3)xxx20)31(lim；(4)nnnn)3212(lim；(5)；xxx2sin120)(coslim(6)xxxsin20)31(lim7利用极限存在准则，证明下列极限：(1)22222limnn;(2)1)12111(lim222nnnnn.(3)设11112111,11,1nnnxxx，xxxx，证明：数列}{nx收敛，并求其极限8当0x时，如果以x为基本无穷小，指出下列各无穷小的阶，且找出等价无穷小：(1)x2sin；(2)42xx；(3)3cos1x；(4)2211xx；(5))1ln(2132x.9.利用等价无穷小代换求极限：(1)xxx6tan3tanlim0；(2)0,011limsin0aaeaxxx；(3)xeexxxcos1lim0；(4)；21)1(cos1limxxx(5)；xxxxxxtansincoslim0(6)；11sin1lim20xxexx(7)；xxxln)1sin(lim110.下列函数在哪些点处间断；说明这些间断点的类型。若是可去间断点，则重新定义函数在该点的值，使之连续。(1)11)(2xxxf；(2)xxxf||(；(3)xxxftan)(；(4)xxexf111)(；(5)xxxxfnnn2211lim)(11.设001sin)(2xxaxxxxf，要使)(xf在,内连续，应当怎样选择数a？12.确定ba,，使0101)(2xexbaxxxxfx在),(内连续。13.设函数0)]ln([ln10)(2,0cos1sin)(2*xxxxxxbNkkxxxaxxf，问ba,为何值时，)(xf在它的定义域内的每点处连续。14用洛必达法则求下列极限（1）axaxaxsinsinlim;（2）xxx2tanln7tanlnlim0;（3）])1ln(11[lim0xxx;（4）)111(lim0xxex;（5）xexxx10)1(lim;（6）xxxtan0)1(lim;（7）210)sin(limxxxx;（8）xxxsin0lim;（9）)1ln(1arcsinlim202ttett.15.设)(xf二阶导数存在,证)()(2)()(lim20xfhxfhxfhxfh.16.讨论函数0;0;])1([)(2111xexexxfxx在点0x处的连续性.17．求下列极限：⑴;)ln(coslim300xdttxx⑵;sinlim3020xdttxx⑶xxxdttttdtt02300)sin(lim2;⑷xdxeexxxxcos1)(lim00；三、导数的几何应用1求下列曲线在指定点的切线及法线方程(1))1,1(1在点xy处;(2))21,3(cos在点xy处.(3)求2xy在点)0,1(处的切线2研究下列函数的单调性:(1)xxxfarctan-)(;(2))0(,)11()(xxxfx3确定下列函数的单调区间:(1)7186223xxxy;(2)12xxy;(3))1ln(2xxy.4证明下列不等式:(1)当0x时,xx1211;(2)当4x时,22xx.(3)当0x时,221)1ln(1xxxx;5．试证方程xxsin只有一个实根.6求下列函数图形的凹、凸区间.(1))1ln(2xy;(2)2xey.7利用函数的凹凸性,证明不等式:),0,0(2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx.8试确定曲线dcxbxaxy23中的a,b,c,d,使得点(-2,44)为驻点,点(1,-10)为拐点.9已知曲线02yxyx以点(2,2.5)为拐点.试确定,的值.10讨论方程)0(,lnaaxx有几个实根.11求下列函数的极值:(1)59323xxxy;(2)xxy1;(3)3232xxy;12试问:a为何值时,函数xxaxf3sin31sin)(在3x处取得极值?它是极小值还是极大值?并求此极值.13求下列函数在指定区间上的最大值,最小值:(1)]3,1[,2824xxxy;(2)]1,5[,1xxxy;14绘下列函数的图形（1）211xy（2）2)1(12xxy四、导数的理论问题1.证明方程135xx至少有一个根介于1和2之间。2.证明方程bxaxsin，其中0,0ba，至少有一个正根，并且它不超过ba.3.若)(xf在闭区间],[ba上连续，bxxxan21，则在],[1nxx上必有使nxfxfxffn)()()(21.4.证明若)(xf在),(内连续，且)(limxfx存在，则)(xf在),(内有界。5.若)(xf在闭区间],[ba上连续，且bbfaaf)(,)(，证明在),(ba内至少有一点，使)(f.6.设函数)(xf在闭区间]2,0[a上连续，且)2()0(aff，证明在],0[a上至少存在一点，使)