第11章 实验：用单摆测定重力加速度

实验：用单摆测定重力加速度课前自主学案核心要点突破课堂互动讲练课标定位知能优化训练实验：用单摆测定重力加速度课标定位学习目标：1.明确实验目的，理解实验原理；通过实验，探究单摆的周期与摆长及重力加速度的关系．2．学会使用秒表，掌握实验步骤，并能正确进行实验操作．重点难点：1.实验原理的理解．2．实验数据的处理．课前自主学案一、实验目的1．利用单摆测定当地的重力加速度．2．巩固和加深对单摆周期公式的理解．二、实验原理单摆在偏角很小(如小于10°)时的摆动，可以看成是简谐运动．其固有周期为T＝2πlg，由此可得g＝___________.据此，只要测出___________和____________，即可计算出当地的重力加速度值．摆长l周期T4π2lT2三、实验器材长约1m的细线、稍重的带孔小铁球1个、带有铁夹的铁架台1个、米尺1把、秒表1块、游标卡尺．四、实验步骤1．让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个线结，做成单摆，如图11－6－1所示．2．把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记．图11－6－13．用米尺量出摆线长度l′，精确到毫米，用游标卡尺测出摆球的直径d，即得出小球半径为d2，计算出摆长l＝_____________1.4．把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(如小于10°)，然后放开小球，让小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T＝tN(N为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期T＝_________________.(T1＋T2＋T3)/3l′＋d2元贝驾考金手指驾驶员考试6．改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验测出的重力加速度值，求出它们的平均值，即为当地的重力加速度值．7．将测得的重力加速度值与当地重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因，若误差很大，应重新做实验．8．整理器材．5．根据单摆振动周期公式T＝2πlg，计算出当地重力加速度：g＝_____________.4π2lT2核心要点突破一、数据处理1．平均值法每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝4π2lT2中求出g值，并最后求出g的平均值．2．图象法由单摆周期公式不难推出g＝4π2lT2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图11－6－2所示．求出图象的斜率k，即可求得g值．g＝4π2·k，k＝lT2＝ΔlΔT2图11－6－2图象法处理数据的优点和启示：(1)用图象处理数据可以消除测摆长时漏测小球半径r(或多加r)产生的误差，由单摆周期公式T＝2πlg可得T2＝4π2lg＝k′l(令k′＝4π2g)，作出T2－l图象，这是一条过原点的直线，如图11－6－3所示，k′为图象的斜率，求出k′后，则可求出当地的重力加速度g＝4π2k′.图11－6－3当漏测r时，相当于以摆线长l′为摆长l.这时，T2＝k′l＝k′(l′＋r)，从数学知识可得，这时的图线斜率不变，可将原图线a向左平移r，就得漏测r后的图线c，其横截距的物理意义即为半径r.同理，当多加r时，图线为b.(2)以上还可启发我们，实验时，如果摆球的重心并不在球心或没有合适的工具测量r时，可以不测摆长，而通过测摆长长度变化量来计算g值，这样就可以免去对摆球中心位置的测定．由周期公式不难推出，两次实验的周期的平方差为：T22－T21＝4π2l2－l1g，因此g＝4π2l2－l1T22－T21，即g＝4π2k′＝4π2·k.这样做同样可以得到正确的结果．二、误差分析1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等．2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上．摆球通过平衡位置开始计时，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量取平均值．3．本实验中长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可(即使用卡尺测摆球直径也只需保留到毫米位)．时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．三、注意事项1．构成单摆的条件：摆线应选择细且不易伸长的线，摆球应选择体积小、密度大的小球，且摆角不能超过10°.2．固定悬点：单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑，摆长改变的现象．3．摆动方法：要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．4．测摆长：摆长应是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径．5．测周期：要从摆球经过平衡位置时开始计时，且要测多次全振动的时间来计算周期，如在摆球过平衡位置时，开始计时并数零，以后摆球每过一次平衡位置记一个数，最后总计时为t，记数为n，则周期T＝tn2＝2tn.课堂互动讲练对实验器材、实验原理、注意事项的考查(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为________．A．1米长细线B．1米长粗线C．10厘米细线D．泡沫塑料小球E．小铁球F．1/10秒刻度秒表G．时钟H．厘米刻度米尺I．毫米刻度米尺例1(2)在该实验中，单摆的摆角φ应________，从摆球经过________开始计时，测出n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测出摆线长为L，用游标卡尺测出摆球的直径为d.用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一般表达式为g＝________.【精讲精析】(1)做摆长的细线要用不易伸长的轻线，一般不应短于1米，选A；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E；计时仪器宜选用秒表F；测摆长应该用毫米刻度米尺I.(2)根据单摆做简谐运动条件知φ10°；因平衡位置易判断，且经平衡位置速度大，用时少，误差小，所以从平衡位置开始计时．根据T＝2πlg又T＝tn，l＝L＋d2得g＝4π2L＋d2n2t2.【答案】(1)AEFI(2)小于10°平衡位置4π2L＋d2n2t2例2下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：实验数据的获取及处理摆长l(m)0.40.50.60.81.01.2周期T2(s2)1.62.22.43.24.04.8(1)利用上述数据，在如图11－6－4所示的坐标中描出lT2图象．图11－6－4(2)利用图象，求T2＝5.2s2时，l＝________m，重力加速度g＝________m/s2.【思路点拨】描点作出图象，求出图象的斜率，根据斜率求出l和g.【精讲精析】(1)利用描点法画出图象如图11－6－5所示．图11－6－5(2)由T＝2πlg得：l＝g4π2T2，直线斜率k＝g4π2，由图象可知k＝14.当T2＝5.2s2时，l＝kT2＝1.3m.由k＝g4π2得：g＝4π2k＝π2≈9.86m/s2.【答案】(1)见精讲精析(2)1.39.86【题后反思】用图象法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响．由于lT的图象不是直线，不便于进行数据处理，所以采用lT2的图象，目的是为了将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度．