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第1课时算法与框图1．了解算法的含义，了解算法的思想．2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。2011·考纲下载1．本节是高考的热点内容，主要考查算法的含义和程序框图的理解和应用．2.本部分在高考题中以选择、填空为主，属于中档题.请注意!课前自助餐课本导读一、算法1．在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．算法的程序或步骤应具有明确性、有效性和有限性．二、程序框图1．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．2．程序框图通常由程序框和流程线组成．3．基本的程序框有起止框、输入(输出)框、处理框、判断框三、三种基本逻辑结构教材回归1．关于程序框图的图形符号的理解，正确的有________．①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入框只能在开始框之后，输出框只能放在结束框之前；③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的答案①③解析任何一个程序都有开始和结束，因而必须有起止框；输入和输出可以放在算法中任何需要输入、输出的位置；判断框内的条件不是唯一的，如ab，亦可写为a≤b，故只有①③对．2．给出如图程序框图，其功能是()A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b|的值D．以上都不对答案C3.(2010·天津卷，文)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为()A．－1B．0C．1D．3答案B解析第一次执行s＝1×(3－1)＋1＝3，i＝2；第二次执行s＝3×(3－2)＋1＝4，i＝3；第三次执行s＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4；第四执行s＝1×(3－4)＋1＝0，i＝54，结束循环，故输出的结果是0，选B.4.(2010·浙江，理)某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()A．k4?B．k5?C．k6?D．k7?答案A解析第一次执行后，k＝2，S＝2＋2＝4；第二次执行后，k＝3，S＝8＋3＝11；第三次执行后，k＝4，S＝22＋4＝26；第四次执行后，k＝5，S＝52＋5＝57，此时结束循环，故判断框中填k4？.例1写出解二元一次方程组x－3y＝－3①3x＋y＝1②的算法．【思路分析】本题是解二元一次方程组的问题，可先考虑解二元一次方程组的一般方法，如加减消元法，然后确定解决步骤．本题算法可按三步去设计．【解析】第一步：①×3－②得－10y＝－10③第二步：解③得y＝1；第三步：将y＝1代入②得x＝0.授人以渔题型一算法设计探究1给出一个问题，设计算法时应注意：(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；(2)将解决问题的过程划分为若干个步骤；(3)用简练的语言将各个步骤表示出来；(4)只要把解题过程有条理、清楚地表述出来，就是一个明确的算法，对同一个问题，从不同的角度出发，可以设计出不同的算法，其最终结果虽然一样，但解决问题的繁难程度不同，故应寻找最优解法．思考题1写出求经过两点M(－2，－1)、N(2,3)的直线与两坐标轴围成的三角形面积的一个算法．【解析】算法步骤如下：S1取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3；S2得直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1；S3在第二步的方程中，令x＝0，得y的值m，从而得直线与y轴的交点B(0，m)；S4在第二步的方程中，令y＝0，得x的值n，从而得直线与x轴的交点A(n,0)；S5根据三角形的面积公式求S＝12·|m|·|n|；S6输出运算结果．例2(1)求两底面半径分别为1和4且高为4的圆台的表面积及体积，写出该问题的一个算法，并画出程序框图【分析】如图，设两底面半径分别为r1，r2，高为h，母线长为l，上底面面积S1，下底面面积S2，侧面积S3，表面积S，体积V，则S1＝πr21，S2＝πr22，S3＝π(r1＋r2)l，V＝13(S1＋S2＋S1S2)h，S＝S1＋S2＋S3，因此必须先求出l，再求S3，才能最终将S求出．【解析】算法设计如下：第一步：r1＝1，r2＝4，h＝4；第二步；l＝（r2－r1）2＋h2；第三步：S1＝πr21，S2＝πr22；S3＝π(r1＋r2)l；第四步：S＝S1＋S2＋S3，V＝13(S1＋S1S2＋S2)h；第五步：输出S和V.该算法的程序框图如图：s(2)已知函数f(x)＝3x－1x＜02－5xx≥0，写出该函数的函数值的算法并画出程序框图．【思路分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数表达式不同，因此当给出一个自变量x的值时，也必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段解析式求函数值．【解析】算法如下：第一步：输入x.第二步：如果x＜0，那么使f(x)＝3x－1；否则f(x)＝2－5x.第三步，输出函数值f(x)．程序框图如图：(3)试设计一个算法，求出满足1＋2＋3＋…＋n＞10000的最小正整数n，并画出相应的程序框图．【分析】正确运用直到型循环结构即可．【解析】算法：S1∶p＝0；S2∶i＝0；S3∶i＝i＋1；S4∶p＝p＋i；S5∶如果p＞10000，则输出i；否则执行S3.程序框图：探究2①顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下顺序进行的．程序框图中一定包含顺序结构．②解决分段函数的问题，一般要采用条件结构设计算法，利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，要根据题目的要求引入一个或多个判断框．③在循环结构中，要注意根据条件，设计合理的计数变量，累加变量等，特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次循环或少一次循环的情况．思考题2(1)函数y＝－1x＞00x＝01x＜0，写出求该函数值的算法及程序框图．【解析】算法如下：第一步：输入x；第二步：如果x＞0，那么使y＝－1；如果x＝0，那么使y＝0；如果x＜0，那么使y＝1；第三步：输出函数值y.程序框图如下：(2)如图所示的程序框图给出了计算数列{an}的前10项和的算法，算法执行完毕后，输出的s为________．【解】设ai，ni，si(i＝1,2，…，10)为第i次循环运算所得的a，n，s的值，由程序框图可得：s1＝0＋1＝1，a1＝1＋1＝2，n1＝1＋1＝2；s2＝1＋2＝3，a2＝2＋2＝4，n2＝2＋1＝3；…；s10＝s9＋a9＝s8＋a8＋a9＝…＝s1＋a1＋a2＋…＋a9，而a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，…，可得规律：a1＝2，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…an－an－1＝n，将各式相加可得an＝1＋(1＋n)n2，从而可以计算得到：a5＝16，a6＝22，a7＝29，a8＝37，a9＝46，s10＝s1＋a1＋a2＋…＋a9＝1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＋37＋46＝175.【答案】175例3(1)(2010·北京卷，文)已知函数y＝log2x，x≥2，2－x，x2.右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．题型三程序框图的应用A.54B.45C.65D.56【解析】由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y＝2－x，故此处应填写x2，则②处应填写y＝log2x.【答案】x2y＝log2x(2)(2010·新课标全国卷，理)如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于()【解析】由框图知：k＝1时，S＝0＋11×2；k＝2时，S＝11×2＋12×3；当k＝3时，S＝11×2＋12×3＋13×4；当k＝4时，S＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，满足条件k5，故还需进行下一步运算，当k＝5时，S＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56，不满足条件k5，故输出S，故选D.【答案】D(3)(2010·天津卷，理)阅读右边的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()A．i＜3?B．i＜4?C．i＜5?D．i＜6?【解析】由题意可知i＝1，s＝2→s＝1，i＝3→s＝－2，i＝5→s＝－7，i＝7，因此判断框内应为i＜6?【答案】D探究31.解答此类问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三个基本结构．2．处理循环结构的程序框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成失误，理解程序执行的功能和处理的问题．思考题3(1)一个算法的程序框图如下图所示，则该程序输出的结果为________．【解析】程序运行时，i，m，S的数值变化如下表：因为i≥5时退出循环，输出S＝45.(2)(2010·湖南卷，文)如图是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．【答案】45【解析】根据绝对值的含义，非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，以及0的特殊性，故填x0或x0？或x≥0或x≥0?【答案】x0或x0？或x≥0或x≥0?本课总结1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性．2．编程的一般步骤：(1)算法分析：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算法．(2)画程序框图，依据算法分析，画出程序框图．(3)写出程序：根据程序框图中的算法步骤，逐步写出相应的程序语句．3．算法的思想与数学知识的融合会是新高考命题的方向，要注意此方面知识的积累．课时作业（54）