第9章无穷级数9.1

第9章无穷级数9.1数项级数的概念与性质9.2正项级数9.3任意项级数9.4幂级数9.5函数的幂级数展开式1?nnnax2第9章无穷级数定义1设有一个无穷序列12,,,,nuuu用加号把此序列的项依次连接起来的表达式12nuuu称为无穷级数(简称级数).常缩写为1,nnu其中第n项nu叫做级数的一般项或通项.121nnnuuuu表达式无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数值计算及其它领域.无穷级数是研究函数的工具,本章主要介绍无穷级数的概念、性质、又可用它求得一些函作为一个函数或一个数的表达式,它既可数的近似公式；收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级数展开式。3由级数的第n项的结构给出了两大类级数:1nnunu(1)若只是n的函数,nu1nnu(2)若是x的函数,1()nnuxnu中前n项的和,称为级数1nnu而式中除去后其余各项的和称为级数的余项,记为,即的部分和,记为即nS121nniniSuuuu1nnunS1nnunR12.nnnRuu就称级数为常数项级数;就称级数为函数项级数.49.1数项级数的概念与性质121nnnuuuuS它们之间的差值称为级数的余项.nS12nnnnRSSuunS.nR一.数项级数的概念定义2若级数的部分和数列的极限存在,1nnu{}nSlimnnS1nnulimnnSS1nnu1nnu并把S称为级数的和,记为则称级数收敛;否则就发散;当时,称级数收敛于S,注1当级数收敛时,前n项的和是级数和S的近似值,用作S的近似值所产生的误差,就是余项的绝对值51naaaa故级数发散.nSnalimlim,nnnSna例1讨论级数的敛散性.例2判定级数11111(1)1223(1)nnnnn的敛散性.若收敛,则求出其和.解因111(1,2,)(1)1nunnnnn1111223(1)且nSnn11111(1)()()2231nn111n1limlim(1)11所以nnnSn故级数收敛,其和为1.解因则6例3讨论几何级数(或等比级数)1211nnnaqaaqaqaq解当q≠1时,部分和(1)1naqq(1)当∣q∣1时,(1)limlim11nnnnaqaSqq(2)当∣q∣1时,(1)limlim1nnnnaqSq(其中a≠0,q称为级数的公比,为它的一般项)1nnuaq(3)当∣q∣=1时,的敛散性.若收敛,则求出其和.21nnSaaqaqaq7(ⅰ)若q=1时,则limlimnnnSna(ⅱ)若q=–1时,则级数成为a–a+a–a+…+a–a+…,0nS当n为偶数时,当n为奇数时,,nSalimnnS几何级数,1211nnnaqaaqaqaq1aq故原级数发散.从而不存在.综上所述有重要结论:当∣q∣≥1时,发散.当∣q∣1时,收敛于8二.级数的基本性质11和nnnnuv也收敛,且1()nnnuv111().nnnnnnnuvuv定理1若级数收敛,则级数111,,()的部分和nnnnnnnuvuv1122()()()nnnWuvuvuvnnSTlim,limnnnnSaTb1212()()nnuuuvvv证设且令分别为则limlim()所以nnnnnWSTab111()故nnnnnnnuvuv,,,nnnSTW9注3此定理反之不一定成立.例级数1[1(1)]n111(1)与nn注2两个无穷级数必须收敛才能相加,而不象有限项情形,逐项相加总是可行的.收敛,但级数发散.1nnu定理2若级数1nncu11nnnnucu与的部分和12nnnTcucucucSlimlimnnnnTcSca1即nncuca也收敛于ca.收敛于a,c是一个常数,则级数,nnST证设分别为则级数1nncu收敛于ca.10一个不为零的数,所得的级数与原级数具有相同的敛散性.1,,nnnnTcSu由知若limnnSlimnnT11122与nnnna定理3在级数中增加或去掉有限项,级数的敛散性不变。证因在级数中增加或去掉有限项,总可通过在该级数前增加或去掉有限项来实现,故只须证在级数前增加或去掉有限项而其敛散性不变.设在级数中去掉前m项,则得级数c≠0时,必有注4发散,则不存在,从而当不存在.这表明:级数的每一项同乘以例:级数都是收敛的.121(1)mmmnuuuuu12(2)mmmnuuu1112mmSuuunmnmTSS12nmmmnTuuu令级数(1)的部分和为级数(2)的部分和为于是若(1)收敛于S,则limlim()nmnmmnnTSSSS同理可证在级数(1)前增加有限项,所得级数与级数(1)有相同的敛散性.limnnT例级数11241002nn2124100.nn故(2)也收敛.若(1)发散,则不存在,故(2)也发散.和级数前者是收敛的,后者是发散的.12定理4收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和.1112nvuuu112212nnnvuuu1112kkkknnnvuuu*121的部分和是kkkknnvSvvvS,,,而由知若必有kknkkn*limlim故kkknknSSs证设121的部分和是且nnnnuSuuu收敛于S则设级数按某一规律加括号所得的新级数为1且kkv则lim即kknnSs13加括号仍为收敛级数.注5此定理表明收敛级数适合结合律.即收敛级数注6其逆否命题为“若加括号后所成的级数发散,则原级数也发散.”是收敛的.1(1)naaaaa()()()0aaaaaa注8收敛级数去括号后不一定收敛.注7发散级数加括号后级数有可能收敛,即“加括号后所成的级数收敛,原级数不一定收敛.”例级数是发散级数.但将相邻的两项加括号后所得级数14定理5(收敛的必要条件)若级数1nnulim0nnu1limlim且nnnnSsSs1由nnnuSS1limlim()0有nnnnnuSSlim0(),nnu“若包括不存在情形注9各项均非负的级数,无论加括号还是去括号,都不影响其敛散性.收敛,则证设121的部分和是且nnnnuSuuu收敛于S则级数1nnu发散.注10其逆否命题为15“收敛级数通项必有lim0nnu例4证明调和级数11111123nnn1lim0.nn注11仅是收敛的必要条件而非充分条件.即lim0,nnu11nn2lim()0nnnSSSS1lim22nnn证反证法若收敛,设级数的和为S,则有2111lim()lim()122nnnnSSnnn发散.而与前者矛盾.故调和级数发散.但但通项极限为零的级数却不一定收敛”.111lim()222nnnn161111limkknnnn11limkknknk111limknknkk1011ln0dxxx法二:可以用定积分的定义来证明调和级数的发散性.17在[n,n+1]上对应用拉格朗日中值定理得()lnfxx1ln(1)ln(1)nnnn将前n个不等式两边相加得111ln(1)ln1nnnn1ln3ln2,,31ln(1)ln,1nnn111111lnlimln23nnnSnnnn1111nn而1ln2ln1,2法三:也可用拉格朗日中值定理证明.有18例5判定级数1111.;2.1nnnnnn11111123nnn因1111111()()2448888112n11nn1111111(1)()()2345678而级数发散,则由比较判别法知发散的敛散性.解(1)因为lim11nnn1(2)lim1nnn所以级数11nnn发散.所以级数发散.11nnn法四：111222191111limkknnnn11limkknknk111limknknkk1011ln0dxxx