第9章矩阵位移法

第9章矩阵位移法§9-1概述§9-2单元刚度矩阵（局部坐标系）§9-3单元刚度矩阵（整体坐标）§9-4连续梁的整体刚度矩阵§9-5刚架的整体刚度矩阵§9-6等效结点荷载§9-7计算步骤和算例§9-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析§9-9桁架及组合结构的的整体分析MATLAB-MatrixLaboratory结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。与传统方法的差异结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：在原理上同源，在作法上有别。简单地说，前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手段的不同，引起计算方法的差异。与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的优点而广为流传，本章只对矩阵位移法进行讨论。有限元法包含两个基本环节1.单元分析2.整体分析先把整体拆开，分解成若干个单元(在杆件结构中，一般把每个杆件取作一个单元)，这个过程称作离散化。然后再将这些单元按一定条件集合成整体。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题。有限元法的要点有限元法的要点矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语和提法。单元分析的任务建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵整体分析的主要任务将单元集合成整体，由单元刚度矩阵按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方程，从而求出解答。本节和下一节对平面结构的杆件单元进行单元分析，得出单元刚度方程和单元刚度矩阵。单元分析与整体分析第9章矩阵位移法§9-1概述§9-2单元刚度矩阵（局部坐标系）§9-3单元刚度矩阵（整体坐标）§9-4连续梁的整体刚度矩阵§9-5刚架的整体刚度矩阵§9-6等效结点荷载§9-7计算步骤和算例§9-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析§9-9桁架及组合结构的的整体分析一般单元单元杆端位移向量单元杆端力向量eTyxyxeTeMFFMFFFFFFFF)()(222111)6()5()4()3()2()1(FeTeTevuvu)()(222111)6()5()4()3()2()1(Δ向量中的六个元素的序码记为(1)，(2)，…，(6)。由于它们是在每个单元中各自编码的(不是在刚架所有单元中统一编码的)，因此称为局部码——杆端位移分量(或杆端力分量)的局部码。杆端力和杆端位移的符号■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；■其它：与坐标轴同向为正。iE，I，A，ljyxxy■：顺时针为正ijiuivjvjue1xF2yF1yF2xF1M2Me杆端位移杆端力局部坐标系e单元刚度方程忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。)(),(212211eeexeeexuulEAFuulEAF首先，由杆端轴向位移可推算出相应的杆端轴向力)(12)(6)(12)(6)(642)(62421321222132121212212212211eeeeeyeeeeeyeeeeeeeeeevvlEIlEIFvvlEIlEIFvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM根据转角位移方程并改用本章的记号和正负号liiiMliiiMBABABAAB64262421266lililiFFBAQBAQAB弯曲变形eeeyxyxvuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMFFMFF111111222323222323222111460260612061200000260460612061200000矩阵形式eeeΔkF)1()1()1()1()1()1()6()5()4()3()2()1(222111vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAe460260612061200000260460612061200000)6()5()4()3()2()1(222323222323k刚度矩阵1）单元刚度系数的意义每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移所引起的杆端力。单元刚度矩阵的性质2）对称矩阵eijjiekk))(())((3）一般单元的是奇异矩阵0||ek正问题和反问题解不唯一★对一般单元而言，由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移（刚体位移+变形）。解唯一Fk1kFeeeeee一般单元的刚度方程，其中六个杆端位移可指定为任意值。在结构中还有一些特殊单元，单元的某个或某些杆端位移的值已知为零，而不能任意指定。各种特殊单元的刚度方程无需另行推导，只需对一般的单元刚度方程作一些特殊处理便可自动得到。特殊单元在结构矩阵分析中，我们着眼于计算过程的程序化、标准化和自动化。因此只采用一种标准化形式——一般单元的刚度矩阵，关于单元刚度矩阵的各种特殊形式将由计算机程序去自动形成。计算连续梁时，通常忽略轴向变形。如取每跨梁作为单元，则只有两个杆端位移分量可指定为任意值，而其余四个分量均已知为零21,忽略轴向变形02211vuvueelEIlEIlEIlEIMM21214224lEIlEIlEIlEIe4224K连续梁单元的刚度方程单元两端只有转角位移1122323233224453232622000012612600646200000012612600626400EAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllllEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllll56011vu022vu某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。奇异性正问题的力学模型，每端有两个支杆和一个控制转角的附加约束，和可指定为任意值。21反问题的力学模型，每端有两个支杆，杆端力矩为任意值。21,MM由于反问题的力学模型是一个几何不变体系，因此，当为任意值时，杆端转角有解，且为唯一解。由此得出存在的结论。1)(ek2,121,MM桁架单元刚度方程1144EAEAFllEAEAFlleee奇异，不可逆刚架中忽略轴向变形的梁单元刚度方程2232323322553232662212612664621261266264EIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllll奇异，不可逆eee思考：桁架&忽略轴向变形的刚架？第9章矩阵位移法§9-1概述§9-2单元刚度矩阵（局部坐标系）§9-3单元刚度矩阵（整体坐标）§9-4连续梁的整体刚度矩阵§9-5刚架的整体刚度矩阵§9-6等效结点荷载§9-7计算步骤和算例§9-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析§9-9桁架及组合结构的的整体分析eeeyexeyeyexexMMFFFFFF11111111cossinsincos结点力eeeyexeyeyexexMMFFFFFF22222222cossinsincos2221212221211000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMFFMFFMFFMFFyxxxeyxxx1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT或局部坐标系中单元杆端位移列阵,eeTΔΔ单元坐标转换矩阵eeTFFeTeFTFeTeΔTΔeΔeΔ整体坐标系中单元杆端位移列阵TTT1ITTTTTT单元杆端力与杆端位移在整体坐标系中的关系式可写为eeeΔkF整体坐标单元刚度矩阵eeeTΔkTFeeTeTΔkTF,eeeΔkFTkTkeTe整体坐标系中的单元刚度矩阵与同阶，具有类似的性质ekek（1）元素表示在整体坐标系中第(j)个杆端位移分量等于1时引起的第(i)个杆端力分量。))((jik（3）一般单元的是奇异矩阵。ek（2）是对称矩阵。ek试求图示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵。设各杆的杆长和截面尺寸相同。ek例9-1bh＝0.5m×1m(截面尺寸)MPaE4103单元(1),,00IT单元(2),900100000001000010000000100000001000010T解答100030500300300003000300123001250030100030030000300030012300124)2()2(10TkTkT)1()1(kk4)2()1(10kk10030050300301203012000300003005030010030030120301200030000300整体坐标系中的单刚局部坐标系中的单刚第9章矩阵位移法§9-1概述§9-2单元刚度矩阵（局部坐标系）§9-3单元刚度矩阵（整体坐标）§9-4连续梁的整体刚度矩阵§9-5刚架的整体刚度矩阵§9-6等效结点荷载§9-7计算步骤和算例§9-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析§9-9桁架及组合结构的的整体分析引言整体刚度方程是按位移法建立的,具体做法有两种1.传统位移法2.单元集成法（也称为刚度集成法或直接刚度法）单元集成法的优点是便于实现计算过程的程序化。叠加结点力偶321FFF222211114202442024iiiiiiii321KΔF222211114202442024iiiiiiiiK整体刚度方程整体刚度矩阵传统位移法传统位移法求结构的结点F时，分别考虑每个结点位移对F的单独贡献，然后进行叠加。单元集成法求F时，分别考虑每个单元对F的单独贡献，然后进行叠加—其特点就是“由单元直接集成”。203010考虑单元(1)的贡献，整个结构的结点力是由单元(1)单独产生的。1111)1(4224iiiik211111)1(2)1(14224iiiiFF02i0)1(3F,0000420243211111)1(3)1(2)1(1