全国2015年4月自考04184线性代数(经管类)试题及其答案详解【新颖版】

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本套试卷解题内容由网友百度网友“霸王别基A”提供,若有转载或者令作他用,请指明出处。本套试卷解题内容由网友百度网友“霸王别基A”提供,若有转载或者令作他用,请指明出处。本套试卷解题内容由网友百度网友“霸王别基A”提供,若有转载或者令作他用,请指明出处。本套试卷解题内容由网友百度网友“霸王别基A”提供,若有转载或者令作他用,请指明出处。参考答案一.单项选择1.C2.A3.D4.C5.B二.填空题6.97.527732771**221=||,:主对角线交换,副对角线变号AAAA8.111130(用1XAB这种方法来求X计算量大,最好用初等行变换求X)9.310.—211.012.2【分析】12121233={=(,,0)|,}={=(,,)|=0}VxxxxxxxxRxx121210=(,,0)=0100xxxxx,所以x的表达式中只含两个线性无关的向量,V中的任意向量都可以由TT(1,0,0),(0,1,0)线性表出,所以dimV=2;另一方面,它的几何意义是在三维空间直角中,z坐标的值始终为0,则点就相当于只是在xOy平面内移动,所以V的维数是2.13.T11,1,13【分析】设与向量TT(1,0,1),(1,1,0)都正交的向量为T123(,,)xxxx,所以有方程组131200xxxx,解得TT123(,,)=(1,1,1)xxxkx,k为非零的任意常数,单位化得=xxTT111,1,11,1,1||33kk14.—115.(1,)【分析】方法一:通过逐次配方得22221231223(,,)()(1)fxxxxxaxax,正惯性指数等于3,所以只需满足第二和第三个平方项的系数大于0即可,即21010aaa,另一本套试卷解题内容由网友百度网友“霸王别基A”提供,若有转载或者令作他用,请指明出处。方面,可以检验行列式22100110=(1)000aaaa,所以划为标准型时所用的变换是非奇异变换。方法二:从二次型的矩阵A入手.三.计算题16.计算行列式21111311=11411115D.【分析】:切忌暴力地直接展开计算或者逐行相减使其出现0,那样的话计算量会很大;不难发现行列式有很多1,可以通过第一行的-1倍加到其他行,构造出“爪”型行列式,再将其它列的倍数加至第一列,构造出0元形成上三角不等式.解:11111211121112111234131112000200=(2,3,4)(2,3,4)74114110300030111510040004iicDrricjj17.设2阶行列式1=2A,求行列式1*(2)2AA的值.1*111221(2)212||212||212||1922||22解:AAAAAAAAAAA本套试卷解题内容由网友百度网友“霸王别基A”提供,若有转载或者令作他用,请指明出处。18.设矩阵010=111101A,11=2053B,矩阵X满足XAXB,求X.【分析】:不要总是用“那些年我们一起用过的”1‘’AXBXAB的方法来求X,一方面是因为1A不一定可逆,就不能用逆,这时矩阵方程AXB就有无穷多解,另外一方面,若A可逆,用求1A还得求其伴随矩阵*A很花费时间。所以最好用初等行变换的方法,若A可逆,则ABEX,若A不可逆,最后一定会产生至少一个零行。初等行变换其实就是对方程组各方程进行加减消元,最后得到的方程组和原方程组是同解方程组。重要事情说三遍,为了减少计算量,不要去求1()EA,不要去求1()EA不要去求1()EA,不是所有东西都有逆的.解:由题可知()XAXBEAXB因为11011100311012001020=1025300111EABEX所以31=2011X19.求向量组12=(1,2,1),=(2,5,1),3=(1,3,6),4=(3,1,10)的秩和一个极大无关组,并将该向量组中的其余向量用极大无关组线性表出.【分析】:矩阵A通过初等行变换得到矩阵B,即A等价于B,则A与B的列向量有相同的线性关系,实质上是对齐次方程组Ax=0的方程作加加减减得到方程组Bx=0,它俩是同解方程组,从而A与B的列向量有相同的线性关系。初等行变换不改变矩阵的秩,即r(A)=r(B).解:对向量组构成的矩阵1234(,,,)进行初等变换有123412131213101117(,,,)2531015701571161000000000所以向量组的秩等于矩阵的列秩1234(,,,)r2,312412=115,=177.本套试卷解题内容由网友百度网友“霸王别基A”提供,若有转载或者令作他用,请指明出处。20.利用克拉默法则解线性方程组221232221322213xaxaxaxbxbxbxcxcxc,其中,,abc两两互不相同.【分析】:注意方程组系数矩阵的行列式是范德蒙德行列式的转置形式.解:方程组的系数矩阵的行列式为:2222221111=1=(-)(-)(-)01aaDbbabcbacbcaccabc方程组有唯一解2222112231=303aaaDxbbbDDccc,22222222131=13013aaDxbbDDcc,223321313=13=313aaDDxbbDDDcc.21.已知矩阵11=31111aaA与矩阵000=01000bB相似,求,ab的值.【分析】:注意相似矩阵的必要条件,,()()ABtrtr,ABEAEBAB,AB()()rrAB,5个必要条件中任选两个即可解题.解:AB14()()abtrtrABAB或()()=21()()4rratrtrbABAB22.用正交变换划二次型221231212(,,)524fxxxxxxx为标准形,并写出所作的正交变换.解:二次型的矩阵52=25A,由52==(3)(7)025EA得A的特征值为3,7;当3时,由(3)0EAx得到一个特征向量T1=(1,1);当7时,由(7)0EAx得到一个特征向量T2=(1,1);由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量必正交,故只需单位化,T1111==(1,1)2,T2221==(1,1)2本套试卷解题内容由网友百度网友“霸王别基A”提供,若有转载或者令作他用,请指明出处。令12=(,)Q,则有正交变换xQy,使TTTT1T2212303707fyyxAxyQAQyyQAQyyy四.证明题23.设A,B均为n阶矩阵,且=+2ABE,B=B,证明A可逆.证明:=+ABEAE=B又2()2B=BAE=AE即3122AAEEA可逆,且13122AAE.P.S.本套试卷解题内容由网友百度网友霸王别基A提供,本内容尽量采用最简便方法,一题多解的方法来解答问题,由于时间仓促,水平有限,若有错误之处,望联系指正,hy7726@163.com。另外,本内容主要是帮助那些需要参加自考的人,若有转载或者令作他用,请尊重作者的贡献,指明出处。by霸王别基A2015.09.04

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