§4.03 拉普拉斯变换的性质

北京邮电大学电子工程学院退出开始§4.3拉普拉斯变换的性质X第2页主要内容1.线性2.时移性3.频移特性4.尺度变换特性5.时间微分性质6.时间积分性质7.初始值定理8.终值定理9.卷积定理10.复频域微分11.复频域积分卷积定理时间微分特性时间积分性质时移性初始值定理重点难点X第3页一.线性)()(),()(2211sFtfsFtf若)()()()(22112211sFCsFCtfCtfC则tjtjeettf0021)cos()(0为任意常数21,CC001121jsjs例:202ssX第4页二.时移性1.时移性质2.周期信号的单边拉氏变换3.抽样信号的拉氏变换X第5页1.时移性质21s021stessts1102)()()(sFtutf设0)()()(00stesFttuttf则证明在P186，自学注意：有起因信号的时移靠拢向)(tutOtfttO00ttuttf0t)2()2()(:)2(2tueetuetftt例sesesF221)(tOtuttf00t例题对比X第6页傅氏变换的时移特性),()(Ftf若;)()(00tjeFttf则X第7页1111tututLttuLsFsess112)(sin)(cos)()()4sinsin24coscos2()()(tuttutttuttttf222211111ssssssSF例1sFttutf求,1已知解：sFtutttf求已知),()4cos(2)()(:例2解：tuX第8页2.周期信号的单边拉氏变换求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。.,)(0)0()()1(11sFTttEtf求设1)用定义求)1()(01sstesEdteEsFotTT2Etf2)用时移性质求)()()(1tutuEtf,)(sEtEusesEsF11sesEtEu)(X第9页周期信号的单边拉氏变换(续))2()()()(111TtfTtftftfTsTsTTesFesFsFsF2111)()()()((2)求周期性脉冲的拉氏变换)1)((21sTsTeesFsTesF111)(,1因信号不同而不同拉氏变换适用于任意周期信号求sFsTssTssTeeSEeesEesFsF1111111)()(1sTTetL11)(周期化因子周期化定理等比级数求和公式……X第10页3.抽样信号(§3-10)的拉氏变换tftTtfs00)()()(dtenTtnTftfLsts域的级数可表示为抽样信号的ssFs,fnTnT不一定是等比级数因为依不同而不同等比级数:,)(则若tetfnTsnnTsnnTseenTtetf)(0)(011)()(0)(nnsTenTfX第11页三.频移特性（s域平移）(证明P187）)()(),()(00ssFetfsFtfts则若解:2020cos:sstL已知2020cossstet20200sin:stet同理例：的拉氏变换求tet0cos对比X第12页)()(Ftf若号为常数，注意则000)()(00FetfFetftjtj傅氏变换的频移特性X第13页四.尺度变换特性（P187）时移和标度变换都有时:01)(),()(aasFaatfsFtf则若abseasFabatf1)(注意：此处a0，∵我们讨论的是单边拉氏变换。注意：.,,需向其靠拢如果不是的含义是batubatubatfbatf证明在P187,自学对比X第14页傅氏变换的尺度变换性质为非零函数则若aaFaatfFtf,1),()(X第15页五.时间微分性质（原函数微分）（p183，证明见P177）)0()()(),()(fssFdttdfsFtf则设0)0()0(,0,0,fftfttf且时即为有起因信号若),()(),()(2sFstfssFtf则)0()0()()0(0s)(:22fsfsFsffsFsdttdf推广10)(1)0()()(nrrrnnnfssFsdttdf0)()(0)()0(,)()0(trrttfftff式中例题1对比例题2X第16页傅氏变换的时域微分性质)()()()(FjtfFtf，则)()()()(Fjtfnn一般情况下nnjtfFF)(则，若已知)(tfFnX第17页例12020)(ssFsFftuttf求已知,00),(sin)(:0)(sin)(cos)(000tttuttf)(cos00ttu0)0(f)(cos)(sin)(00020tttuttf)()(sin0020ttut0202)()(sFsFs两边取拉氏变换解：X第18页例2换。导数的拉氏变及其一阶，求已知)0(001)(tftettft1)0(,1)0(ffttf11oottf2:的拉氏变换tfsdteesFstt1)(0求其一阶导数的拉氏变换，有两种方法。X第19页解：(1)用定义做(2)用性质做sdteettftst2)(2)(000)(2)(tetttft1)0(,1)0(:ff由图形可知）0()()(fssFtf的变化反应出来可以把开始从单边拉氏变换两种方法的结果相同说明000,)(,:sssss22)1(1ttf11oottf2X第20页求电感元件的s域模型)()(),()(:sVtvsItiLLLL设dttdiLtvLL)()(已知)0()()0()()(LLLLLLisIsLissILsV)(tiL)(tvLLsILLs0LLisVL电感元件的复频域模型应用时间微分性质X第21页六.时间积分性质（证明见P184）)()(:sFtf设sfssFdft)0()()(:1则01)()0(dff式中对比例题X第22页傅氏变换的时域积分性质，则若FtfjFdfFt时，00jFFdfFt000时，也可以记作：)(1)(jFX第23页求电容元件的s域模型)()(),()(:sVtvsItiCCCC设tcCdiCtv)(1)()0(1)(1)0()(1)()1()1(CCCCCisCsIsCsissICsV)0()(1)0(10)1(CCCvdiCiC)0(1)(1)(CCCvssIsCsVtiCtvCCsC101CvssICsVCX第24页七.初始值定理（P188）),()(sFtf若)(lim)0()(lim0ssFftfst则.,应变成真分式不是真分式若sFksFsF)()(1)0()(lim)(lim)(lim0ftfksssFksFstss.,,.,ksttftfssFttfsF其拉氏变换为项微分中有的的拉氏变换相当于项中有说明中有常数项证明见书P188注意例题X第25页例1即单位阶跃信号的初始值为1?)0(,1)(:fssF求已知解：1)(lim)(lim)0(0ssFtffst例2?)0(,12)(fsssF求21212ssssFsssksssFfss2122lim)(lim)0(2112lim12limsssss2)0(f解：项中有ttf2X第26页终值存在的条件:的拉氏变换存在设dttdftf)(),()()(lim),()(0fssFsFtfs则若.)(轴上无极点原点除外在右半平面和jsF注意八.终值定理(P189)X第27页九.卷积定理(P190）)()()()(2121sFsFtftfL)()(21)()(2121sFsFjtftfL注意：与傅里叶变换区别表4-2拉氏变换性质(定理)p199与傅里叶变换类似对比X第28页傅氏变换的卷积定理2211,FtfFtf若2121FFtftf则2211FtfFtf,若212121FFtftf则倍。各频谱函数卷积的时间函数的乘积21时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积频域卷积定理X第29页十.复频域微分(补充:P190表4-2-11项)证明：0)()(dtetfsFst0)()()(dtettfdssdFst0)()(dtetftst)(ttfLdssdFttf)()()()(sFtf设sdsFdtftnnnn)()1()(则nnnndssFdtftns)()1()(:次得微分对ddFjttf)()(傅氏变换对比X第30页傅氏变换的频域微分性质),()(Ftf若djdFttf)(则dFdtjtf)(nnndFdtfjt)(或nnnFjtft)(X第31页十一.复频域积分(补充:P190表4-2—12项)证明：0)()(dtetfsFst两边对s积分：sstsdsdtetfdssF0)()(交换积分次序0)(stsdtdsetfsdssFttfsFtf)()(),()(则若dtettfsts01)(dtettfts0)(X第32页X第33页抽样信号的拉氏变换器后可进行理想抽样经乘法的最高频率分别为限带信号,,,2121tftf[复习]Ttf试决定抽样间隔为保证再现,)1(sSFtf的傅氏变换求)2((3)抽样信号的（单边）拉氏变换(§3-11，P159)(§3-10，P153)tf1tf2tftTtfsX第34页解（1）212121,FFFtftftfmF21:的最高频率为所以，)(2221ms212112ssssfTf，奈奎斯特抽样频率:s奈奎斯特抽样间隔:sTsSTTff抽样间隔要求抽样频率,X第35页