第六章 应力状态与强度理论2

第六章应力状态与强度理论•应力圆画法、物理意义的简单回顾•三维应力状态简介•广义胡克定律•平面应力状态下的应变分析应力圆的画法、物理意义FF000AF002sin2;)2cos1(2x0,,c应力圆上的点某截面上的应力夹角为的两截面0nn应力圆某径向矢量某截面的法向矢量夹角为的两矢径20nn00909002例：一点处的平面应力状态如图所示。已知,60,60,20MPa,20MPa;310MPa.310MPa求（1）主应力；（2）绘出主应力单元体。13030oC)310,20(C)310,20(Da2D解：（1）作应力圆012002402（2）根据应力圆的几何关系确定主应力1120ºo)310,20(C)310,20(Da120º2bbaoboa60tgbcob6031020tgMPa30半径22)()(bcbaca22)60310()310(tgMPa20因此主应力为：caoa1,50MPa,102MPacaoa.03（3）绘出主应力单元体。120º1o)310,20(C)310,20(Da2b3030CD2211060nn应力状态的分类:1、单向应力状态：三个主应力中，仅一个不为零的应力状态2、二向（平面）应力状态：三个主应力中，两个不为零；3、三向（空间）应力状态：三个主应力均不为零的应力状态；复杂应力状态133第6-3节、三向应力状态的概念三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态；特例——三个主应力中至少有一个的大小及其主方向是已知的。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。定义zxyxyyxyxyyxxz特例：已知是主应力及其主方向z),(xyx),(yxyc123特例：三向应力状态的应力圆IIIIII321I平行于1的方向面－其上之应力与1无关，于是由2、3可作出应力圆I平行于2的方向面－其上之应力与2无关，于是由1、3可作出应力圆II平行于3的方向面－其上之应力与3无关，于是由1、2可作出应力圆IIIII2133III21123123IIIIII123可以证明：在-平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域内。zpypxpIIIIII123'xx'''''''max=123212313212313132321在三组特殊方向面中，都有各自的面内最大切应力,即：,221,232231三向应力状态中1max3min231max（方向与及成45°角）1320030050o321max平面应力状态作为三向应力状态的特例20050132O30050第6-4节、广义胡克定律1、各向同性材料的广义胡克定律（1）横向变形与泊松比（各向同性材料）xExxExxy--泊松比yx1（2）三向应力状态的广义胡克定律－叠加法2311223++23112312223,11E,12EE13,21E,22EE233312,31E,32EE331231233211E11113121E22221231E3333123分析：①,321,321即.,min3max1②当时，即为二向应力状态：03)(1211E)(1122E)(213E)0(3③当时，即为单向应力状态；0,032即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。xyzxyyxyzzyzxxz④若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：zyxzxyzyx,,,,,zyx,,zyxzxy,,zyxxE1zxyyE1xyzzE1xzxzzyzyxyxyGGG1,1,1yxz（3）三个弹性常数之间的关系12EG第6-5平面应力状态的应变分析一点的应变状态：构件内一点在“各个不同方位”的应变的基本情况。正应变：变形后单元体棱边长度的变化。切应变：变形后单元体各平面之间角度的变化。二维（2D）应变状态：某点的所有应变均在同一平面内。点o的应变状态的表示：oxydxdydxxdyyxy符号规定：:相对伸长为正，缩短为负；:使xoy直角增大为正。oxydxdyxyABCDE已知：o点的应变分量分别为。现求：与x轴成角的线段oB的正应变，以及处于该方位的直角BOD的切应变。xyyx,,解：利用叠加法。1B1、求dxxodxdyCBA1F①仅考虑x方向线变形的作用oBoBllOBBF1cos/cos)(dxdxx2cosxdyyodxdyCBA2B②仅考虑y方向线变形的作用oBoBllOBBF2sin/sin)(dydyy2siny2FodxdyABCdyxy3B3F③仅考虑角变形的作用oBoBllOBFB33sin/cos)(dydyxycossinxy2cosx2sinycossinxy或2sin22cos22xyyxyx因此，总应变为：2、求odxdyABCDE变形时，若OB转过角度为，90所以直角BOD的改变量为：利用叠加法：代表直角BOD的改变量。则OD转过角度为，90cos/sin)(dxdxx1BdxxodxdyCBA1FOBFB11OBFB22dxyodxdyCBA2B2FodxdyABCdyxy3B3FOBBF3sin/cos)(dydyysin/sin)(dydyxy2sincossin)(xyxy而290coscossin)(xyxy90因此2cos2sin)(xyxy或2cos22sin22xyyx2cos22sin22xyyx2sin22cos22xyyxyx将以下方程消去，得到：圆方程：2222)2()2()02()2(xyyxyx圆心),0,2(yx半径22)2()2(xyyx与应力圆相比：.2,2Rc2yx应变圆22)2()2(xyyx2)2,(E)2,(xyxD)2,(xyyFCAOCAmax22)2()2(2xyyxyxCBOCBmin22)2()2(2xyyxyxR2max222()()22xyxy2Rc2yx)2,(xyxD02ABoGCGDGtg022/)(2/yxxyyxxy在最大与最小正应变的方位上，相应的切应变为零，切应变为零方位上的相应正应变称为主应变。3min1max,并且此两主应变位于相互垂直的方位。例图示直角应变花,测得构件表面某点的应变。材料的弹性常数为。试求该点的主应力和最大切应力。301045.003903451025.0;1015.0000.28GPa,210E00090045解：2sin22cos22xyyxyx由得：xy000900452345900101.02000xy333223333221102536.0103536.0101.0)(212104536.0103536.0101.0)(212xyyxyxxyyxyx试样的表面，其中有一个主应力为零，为平面应力状态。3111E021331E32111E31221E12331EMPa8.2828.01)102536.0104536.028.0(102101)(23392313EMPa2.8728.01)104536.0102536.028.0(102101)(23392131EMPa5828.282.87231max承受内压薄壁容器任意点的应力ｐlxtＤｐxx0xF42DpDx4pDx42Dp)(Dxｐｐlt2tt0yFlDplt22pDtxt承受内压薄壁容器任意点的应力状态:pDl43321pDm0;;321xt三个主应力再见习题：6-13；6-16；6-17；6-18每周星期一交作业