第六章 应力状态与强度理论3

第6.6节应变能密度畸变能密度1、体积变形变形前单元体体积：abcV0变形后单元体体积：))()((1ccbbaaVcbacabbacabcabc0)1(ccbbaaabc)1(321abcac12313123b2)1(3210V单位体积变形：3210010VVVVV体积应变利用广义胡克定律：321)(21321E3)()21(3321EKm式中：)21(3EK是体积弹性模量3321m是平均正应力32111E讨论：①单位体积变形只与三个主应力之和有关，与主应力的大小比例无关。②因为，因此与单元体的取向无关。321对于纯剪切应力状态：tttt45ｏ0,231t0③若，则，即体积不变（体积不可压）。但时,仅当时，5.05.0.003210mE)21(3结论：纯剪切应力状态，体积保持不变，体积改变与剪应力t无关；但是，形状有改变，形状改变与剪应力t有关。（1）微元应变能(StrainEnergy)dydxdzxzyd~dd11yzxd~dd22zxyd~dd332132、应变比能xzyWddd21d11单元体侧面上的力所做的功：yzxddd2122zyxddd2133zyxddd21332211（2）应变比能(Strain-EnergyDensity)zyxzyxVWVUudddddd21dddd33221133221121微元体侧面外力功dW全部转化为弹性变形能dU3、体积改变比能与形状改变比能(畸变能密度)+213m3m2m1mmm32312123222133221122121Eu23212)(6212)21(3EEumvmmmm3m2m121323222132312123222161))(())(())(()()()(21EEEummmmmmmmmd323121232221221Eu)(6)1(42)21(361)(62123222122132322212321tttEEEEuuumdv体积改变能密度形状改变能密度（畸变能密度）例题：用能量法证明三个弹性常数间的关系Gu2212tt（1）纯剪单元体的应变能密度为（2）纯剪单元体应变能密度用主应力表示为312321232221221Eutttt)(002)(02122E21tE12EGtxyA130,231t第6-6节强度理论和相当应力一、强度理论的概念基本变形下的强度条件][max,maxAFN（拉压）][maxmaxWM（弯曲）（正应力强度条件）][*maxttzzsbISF（剪切）（扭转）][maxttpWT（剪应力强度条件）式中,][nu破坏正应力:unutt][破坏剪应力:ut（通过试验测定）基本变形下危险点所处的应力状态：t单向应力状态纯剪应力状态怎样建立一般应力状态下强度条件？有效应力（控制参量）n临界应力如何确定？如何表达？解决途径：研究不同应力状态下，材料破坏的主要形式、导致材料破坏的主要机理，从而确定控制失效的主要参量。人们在总结大量破坏现象的基础上，通过分析引起破坏的主要原因，提出了各种关于破坏原因的假说。一旦这些假说在一定范围内与实际相符合并得到重复性验证，它们就被上升为强度理论。工程材料失效的两种典型形式：(1)塑性屈服（屈服失效）：结构失效前，材料发生显著的塑性变形。在这种情况下，材料产生塑性变形是导致结构失效的主要原因。（2）脆性断裂：结构失效前，材料没有明显的塑性变形迹象，在载荷达到一定程度时，发生突然断裂。在这种情况下，材料脆性断裂是导致结构失效的主要原因。无论材料处于什么应力状态，只要发生同一种破坏形式，可以认为是由于同一种因素引起。就可以用同一强度理论进行分析、设计。123r),,(321rf复杂应力状态相当应力状态[]已有简单拉压试验资料强度理论强度条件相当(等效)应力如何求?二、常用的强度理论关于脆性断裂的强度理论最大拉应力理论最大拉应变理论关于塑性屈服的强度理论最大切应力理论形状改变比能理论莫尔强度理论第一强度理论第二强度理论第三强度理论第四强度理论—最大拉应力理论（第一强度理论）无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，都是由于微元内的最大拉应力达到了该材料在单向拉伸破坏实验时所测得的强度极限。（1）基于“脆性断裂”的强度理论b1断裂条件bb1n强度条件11r在强度理论中，直接与许用应力[σ]比较的量，称之为相当应力r第一强度理论强度理论局限性：1、未考虑另外二个主应力影响；2、对没有拉应力的应力状态无法应用；3、对塑性材料的破坏无法解释；实验表明：大多数脆性材料（铸铁）在受拉应力作用时（如受拉、扭），该理论与实验符合较好。—最大拉应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到了材料在单向拉伸断裂破坏时的极限应变。u1u11断裂条件强度条件nEEb/)]([1321即][)(3212r第二强度理论强度条件实验表明：该理论可以较好地解释岩石类脆性材料在单向压缩时，经常沿纵向开裂的实验现象。局限性：1、第一强度理论不能解释的问题，仍未能解决，2、在二向或三向受拉时，)(3212r1似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。2、基于“塑性屈服”的强度理论最大切应力理论（第三强度理论）无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元内的最大切应力达到了单向拉伸时的屈服应力。st屈服条件强度条件第三强度理论强度条件实验表明：此理论适合于塑性材料的屈服失效。并且，还能解释，塑性材料在三向压应力下不易发生失效的实验事实。)0(maxt局限性：2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象；3、不适用于脆性材料的破坏。1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%；2无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元的形状改变比能(即畸变能)达到材料在单向拉升屈服时的极限值。duduu畸变能理论（第四强度理论）屈服条件强度条件第四强度理论强度条件莫尔强度理论对于拉伸和压缩特性不同的材料，莫尔提出如下强度准则：tct31显然：对于拉压许用应力相同的材料，该理论退化为第三强度理论。][][ct对于抗压不抗拉的材料，，该理论退化为第一强度理论。ct[][所以，莫尔强度理论适用于脆性失效，也适用于塑性失效。几点讨论：1、选用强度理论时要注意：破坏原因（脆、韧）？破坏形式（拉、压、剪等）？一般地第一、第二强度理论，适用于脆性材料（拉断）第三、第四强度理论，适用于塑性材料（屈服、剪断）2、材料的破坏形式与应力状态有关，也与速度、温度有关。同一种材料在不同情况下，破坏形式不同，强度理论也应不同。如铸铁：单向受拉时，脆性拉断第一、第二强度理论三向受压时，产生屈服破坏第三、第四强度理论3、如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂力学中的脆性断裂准则进行计算。低碳钢：单向受拉时，产生塑性变形第一、第二强度理论三向均拉时，产生断裂破坏第三、第四强度理论1r1][)(321r2强度理论的统一形式tct31rM第一强度理论第二强度理论第三强度理论第四强度理论莫尔强度理论例已知：铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力[]=30MPa。试校核该点的强度。解：首先根据材料和应力状态确定破坏形式，选择强度理论。r1=max=1[]其次确定主应力铸铁一般发生脆性断裂，因此，选择最大拉应力准则：MPaxyyxyx28.29421222maxtMPaxyyxyx72.3421222mint1＝29.28MPa,2＝3.72MPa,3＝0MPar3011结论：强度是安全的。已知：和t。试写出最大切应力理论和形状改变比能理论的表达式。解：首先确定主应力2214212t022234212t对于最大切应力理论对于形状改变比能理论r4=313r224t223tAB2m2mFCFq1m1mDE300126159例：工字形截面梁受力如下图，已知F=80KN,q=10KN/m,许用应力。试对梁的强度作全面校核。MPa120][图sF(-)5852075(-)(+)(+)756520AB2m2mFCFq1m1mDE解：（1）求支座反力并作内力图图M作剪力图、弯矩图。（2）确定危险截面KNMKNFs75,85maxmax,危险截面可能是截面或：左C右D:左C:右D;75,75maxKNMMKNFcsc左;65,85max,KNMKNFFDssD右（3）确定几何性质300126159zya对于翼缘和腹板交界处的a点:（4）对C截面强度校核300126159zy;75,75maxKNMMKNFcsc左ba最大正应力在b点:ZcWMmax3310611.01075MPa123][但%5][][max所以仍在工程容许范围内,故认为是安全的.对于a点:aZacIyM633106.91101351075MPa111bISFZzsc*t3643109106.911069.21075MPa5.24a按第三和第四强度理论校核:r4=2＋3t2%5][][3r所以C截面强度足够。（5）对D截面强度校核;65,85max,KNMKNFFDssD右300126159zybaZDWMmax3310611.01065MPa106][最大正应力在b点:对于a点:ZaDIyM633106.91101351065MPa8.95bISFZzsD*t3643109106.911069.21085MPa7.27a按第三和第四强度理论校核:r4=2＋3t2对于c点:300126159zybactcbISFZzsDmax*)(t3643109106.911051.31085MPa2.36tctttt321,0,按第三和第四强度理论校核:所以D截面强度足够。作用点－距中性轴最远处；maxM作用面上maxmaxSF作用面上maxt作用点－中性轴上各点；都较大的作用面上、t都比较大的点。SFM、分析：1、可能的危险点：300126159zybacb（单向应力状态）a（平面应力状态）tc（纯剪应力状态）全面校核2、危险点的应力状态：xyxyyxttxy求垂直于xoy平面的任意斜截面α上的应力。t2sin2cos2)2(xyyxyxtt2