桥梁结构几何非线性计算理论

桥梁结构几何非线性同济大学桥梁工程系大跨度桥梁研究室第十一章计算理论1概述2桥梁结构几何非线性分析的有限元方法3桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵4桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论5非线性方程的求解6算例7小结第十一章桥梁结构几何非线性计算理论本章主要内容1概述二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程中的非线性问题逐步得以解决固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类本构方程（广义胡克定律）——应力与应变的关系xyxyyxzzxzxzzxyyyzyzxyxxEEEEEE)1(2)]([1)1(2)]([1)1(2)]([1固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类(续)几何方程——位移与应变的关系yuxvzwxwzuyvzvywxuyzzyzyyzx固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类(续)平衡方程——点的应力状态000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本方程成为线性1.1非线性问题及其分类(续)材料的应力、应变关系满足广义虎克定律位移是微小的约束是理想约束不满足其中任何一个假定，就转化为非线性问题非线性问题的分类及基本特点非线性问题定义特点桥梁工程中的典型问题材料非线性由材料的非线性应力、应变关系引起基本控制方程的非线性问题材料不满足虎克定律砼徐变、收缩和弹塑性问题几何非线性放弃小位移假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变化，得到非线性的几何运动方程，由此造成基本控制方程的非线性问题几何运动方程为非线性，平衡方程建立在结构变形后的位置上，结构刚度除了与材料及初始构形有关外，与受载后的应力、位移整体也有关柔性结构的恒载状态确定问题；柔性结构的恒、活载计算问题；桥梁结构的稳定分析问题接触问题不满足理想约束假定而引起的边界约束方程的非线性问题受力后的边界条件在求解前未知悬索桥主缆与鞍座的接触状态；支架上预应力梁张拉后的部分落架现象1.1非线性问题及其分类(续)几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实意义上平衡的一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变,线性理论才得以广泛应用1.2几何非线性问题按线性理论求解无法找到平衡位置按几何非线性分析方法求解，可以找到平衡位置B’，即为B点位移的解受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进行分析几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题1.2几何非线性问题(续)PBACB’P1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论考虑主缆拉力二阶影响将平衡方程建立在变形后的位置上忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大大节省了工程造价，充分显示了它的优越性此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作出了巨大贡献1.3桥梁结构中的几何非线性研究挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的Timoshenko于1928年提出了三角级数解Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线性挠度理论我国李国豪教授于1941年提出了用于悬索桥分析的等代梁法将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数揭示了悬索桥受力的本质EIddxHHddxpxHdydxqpp442222()()1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析oCL—桥梁柔度oC—挠度折减系数1.00.80.60.40.2246810挠度折减系数与桥梁柔度关系图加劲梁挠度1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析加劲梁弯矩和剪力折减系数图加劲梁弯矩和剪力oC—折减系数1.00.80.60.40.20.10.20.30.4S=L1HgEI剪力弯矩1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析Hp影响线影响线1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0Q影响线1/41.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析影响线1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0位移η影响线（×10）1/4-7M影响线1/41.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）弯矩包络图5/83/47/81oM(×10KN-m)5.04.03.02.01.01/81/43/81/25L124.11.61.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）剪力包络图oQ(×10KN)5.04.03.02.01.01/81/43/836.0125.82.91/2L5/83/47/811.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）挠度包络图oη(m)5.04.03.02.01.01/81/43/84.11.9121/2L5/83/47/81现代桥梁工程的发展和跨径的增大使得结构柔且复杂结构分析中梁柱效应、索的伸长、结构水平位移及后期荷载的二阶影响变得不可忽略对各种复杂结构，建立非线性平衡微分方程及其求解也越来越困难六十年代初，Brotton等发表求解结构大位移、初应力问题的研究成果这些理论方法都可归入几何非线性力学的有限位移理论1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应1）单元初内力对单元刚度矩阵的影响一般指单元轴力对弯曲刚度的影响有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应2）大位移对建立结构平衡方程的影响T.L列式法将参考座标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题U.L列式法将参考座标选在变形后的位置上，让节点座标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应3）由索垂度引起的单元刚度变化引入Ernst公式，通过等效模量法近似修正垂度效应导出索元切线刚度矩阵，用索单元直接描述索类构件目前，有限位移理论一般用有限元方法来求解七十年代未，国外相继推出了ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP等结构分析综合程序可用于桥梁结构的部分非线性计算和局部应力分析但无法完整地完成桥梁设计计算国内学者根据规范要求和实际情况，开发了桥梁通用程序同济大学桥梁系开发的BAP系统交通部公规院开发的QJS系统有的已具备非线性计算功能1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)2.1变形体的运动描述变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形状简称为构形物体在问题求解开始时的构形称为初始构形，在任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动物体中一点0P，在t=0t时坐标为（0x1,0x2,0x3）2.桥梁几何非线性分析的有限元方法运动状态的描述方法：独立变量为0xi(i=1,2,3)和0t即给出任意时刻物体中各质点的位置1)物质描述2.1变形体的运动描述独立变量为质点Ｐ的当前坐标与时刻t——拉格朗日法选择t=0时的构形为参照时，称为总体拉格朗日描述(T.L列式)2)参照描述以nt为独立变量，取nt为非线性增量求解时增量步的开始时刻，称为更新的拉格朗日描述(U.L列式)3)相关描述独立变量是质点Ｐ当前的位置n+1x与时间n+1t——欧拉描述4)空间描述下面介绍T.L列式和U.L列式在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不变增量形式T.L列式的单元平衡方程：2.2总体拉格朗日列式法(TotalLagrangianFormulation)}{}{][}{)][][][(00000fddkdkkkTL看看推导吧！0[]Tk——单元切线刚度矩阵，表示荷载增量与位移增量之间的关系；——单元弹性刚度矩阵，与单元节点位移无关；——单元初位移刚度矩阵，由大位移引起的结构刚度变化；——初应力刚度矩阵(几何刚度矩阵)，表示初应力对结构刚度的影响0[]k00[]k0[]Lk将各单元切线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增量刚度方程，即有：2.2总体拉格朗日列式法(续)(TotalLagrangianFormulation)式中：0[K()]T为结构切线刚度矩阵;d{P}为荷载增量。荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式在计算中，一般通过迭代法来求解}{}{)]([0PddKT以最后一个已知平衡状态为参照构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列式)与T.L列式的一个重要区别:t[k]L的积分式是t[k]0的一阶或二阶小量,因此，代表[k]L的积分式可以略去增量形式的U.L列式平衡方程可写成:}{}{)][][(0fddkktt2.3更新的拉格朗日列式法(U.L列式)相同点——相同的荷载增量步内,其线性化的切线刚度矩阵相同不同点——2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围T.L列式与U.L列式的不同点表11－2比较内容T.L列式U.L列式注意点计算单刚的积分域在初始构形的体积域内进行在变形后的t时刻体积域内进行U.L列式必须保留各节点座标值精度保留了刚度阵中所有线性与非线性项忽略了高阶非线性项U.L列式的荷载增量不能过大单刚组集成总刚用初始时刻各单元结构总体座标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不变用变形后t时刻单元在结构总体座标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不断改变U.L列式中组集载向量也必须注意方向余弦的改变本构关系的处理在大应变时，非线性本构关系不易引入比较容易引入大应变非线性本构关系U.L方法更适用于砼徐变分析适用范围——从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性分析一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题U.L列式除了适应于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、徐变分析，可以追踪变形过程的应力变化目前，国内使用的桥梁非线性分析程序，一般都采用U.L列式方法2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围由前面讨论可知:T.L列式下单元切线刚度阵可分为三个部分，即弹性刚度阵0[k]0、初位移刚度阵0[k]L和几何刚度阵0[k]而U.L列式下单元切线刚度阵只有t[k]0和t[k]两部分本节进一步讨论桥梁结构分析中常用单元切线刚度阵的具体表达形式3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵(续)推导非线性刚度方程的一般方法1.建立应变与位移的非线性关系即几何方程；2.将形函数代入几何方程得到应变矩阵:[B]=[B]0+[BL]；