6-粘性流体层流流动

第六章粘性流体层流流动第一节广义牛顿内摩擦定律第二节Navier-Stokes方程第三节动能平衡与内能平衡方程第四节相似和量纲分析第五节不可压缩粘性流体流动的基本特性第六节圆管和环空中稳定不可压缩流动第七节层流边界层第八节球形固体的层流阻力第一节广义牛顿内摩擦定律图6.1应力状态应力向量ntrft,,nTt应力张量zzzyzxyzyyyxxzxyxxpppTdydxxy斯托克斯（Stokes）假设：TS（2）应力张量仅取决于位移和时间；rt（3）流体是各向同性的，因而粘度系数是一个标量；0STIp对于牛顿流体（1）应力张量是一个关于变形速度张量的连续函数，与其他运动参数无关；（4）当，退化成，即静止时，应力无限趋近于静止流体的压力函数。〖例6-1〗一不可压缩流场为，流速单位：；位移单位：kxzjzix222sm/m若流体的粘性系数为)/(05.0smkg，试求出点3,2,1上的粘性应力张量。TzyzzxyzyxyzxxyxTzzyxzzyyyxxzyxxzzyzxzzyyyxyzxyxxx222〖解〗代入流速：xzzxzyx2,,22xxzxzxT422200204代入：3,2,1),/(05.0zyxsmkgaPT2.01.03.01.0003.002.03,2,1divT1gdtdS)2IdivIdiv(1pgdtd第二节Navier-Stokes方程柯西通用运动方程牛顿流体本构方程υdivgradυμΔzyxzυzυyυzυxυyυzυyυyυxυxυzυxυyυxυμμS)div(zyzxzzyyxyzxyxx2222pgradkzpjypixpzyx-p-p-p)div(-p000000Igraddivzyxzυyυxυzυyυxυzυyυxυzyxzyxzyx000000I)divdiv(divgrad1pgradgdtd二阶非线性偏微分方程组，其必须满足两个边界条件///0xyzxyz1dggradpdtdivgrad1pgradgdtd不可压缩流体222222222222222111xxxxxxxxyzxyyyyyyyxyzyzzzzzzxyzzpgtxyzxxyzpgtxyzyxyzpgtxyzzx直角坐标系222zyz222222222222211121112rrrrrzrrrrrrzrtrrrzpgrrrrrrrztrrrzpgrrrrrrrz柱坐标系22222111zzzzrzzzzztrrzpgrzrrrrz〖例6-2〗一流动中在速度矢量为零的驻点，其附近的速度场为,,;若不计重力，证明这一驻点附近流场为不可压缩流Navier-Stokes方程的准确解并计算压力场，说明结果。LxUx/0LyUy/00z〖解〗不可压缩流体在无重力条件下的纳维－斯托克斯方程可写为：zyxtzyxxpxzxyxxxxxx22222200/,/,0xyzUxLUyLxLUxp220zyxtzyxypyzyyyxyyyy222222yLUyp220022xypyxp2222020212121CCyLUxLUCpyx2()ddTdT:d2VVAVdVgVAVdt动能方程VVpAApVgVdtdAAVVVVdT':ddivdT'ddd2)()(2T':S':21T':T)()(2VddddV:Sddivd2AAVVVVAApVgVVpVdtd第三节动能平衡与内能平衡方程物理意义是：作用在某单元体积（体积为V和边界面积为A）流体上的外部力（体积力、压力和粘滞力）所作功的变化率等于流体的动能、转化成内能中机械能的可逆部分和机械能的不可逆部分的变化率之和I'TpT1dddivtppS:VS:IdivS22222222yyyxxxzzzxyzyxzxzy2222221112rrzrzrzrrrrzrrrrzzrVdivdivdiv22pgpdtdS2div22pgradgdtd内能方程d:Tdd)(VVAVAqVtTgradkqcTTcvd:Tddd)()(VAVAVATgradkAcTVcTt考虑线性粘性流体S2IdivITpddddivdd)()(VAVVAVATgradkVpAcTVcTtdddivddivddivdVVVVVVVTgradkVpVcTVcTtdivdivdivTgradkpcTcTtcTgradcTtcTtcTcTcTtdivdiv黎曼（Neumann）方程:divdivTgradkpdtcTddivTkpdtdTc2222222222222yxzxyzyxzyyyxzzTTTTcptxyzxyzTTTkxyzxyzyxzxzy22222222211112[11]rrzrzrrzrzTTTTcptrrzrrrzTTTkrrrrrzrrrrzrrrr22rzzzrpipidivdivddTgradkpptdtdidivddTgradktpdtdi黎曼方程关于焓的表达形式为：tppitTTitiTpddddddppcTiTpitT11divddTgradktpTdtdTctp焓的变化率压缩功或膨胀功变化率〖例6-3〗空气流过一收缩绝热喷管，已知入口处气温，速度，CT0127出口处气温，速度,设势能不变，计算空气的内能和热焓值。sm/201CT02127sm/1002〖解〗无势能变化的能量方程可写为：22222211ii热焓增量gJsmiii/8.4/48002122212221由内能和焓的关系式：pi知内能增量：kgkJTRipi/47.33127272867.08.4热力学第二定律:)(ddddAVTAqVSt热力学第一定律用焓的表示:pddTdSdtdpdtddtdSTdivpdtddtdSTqdivdtdSTVVdVTqdivTSdVdtd2d1ddVVVqqgradTSVdivdVdivqdVtTTTTqdivTTTgradqqdivT21TTqgrad考虑层流中热传递的问题控制方程：连续性方程、动量方程、能量方程和状态方程。六个未知量：三个速度分量及压力、温度和密度。边界条件：假定在边界面上温度均匀分布，或在边界面上热传导速度均匀分布。TThqwnnTkqnnTTTkhw该式将对流传热系数和流体导热系数、固体表面温度梯度和固体表面与流体的温度差建立联系。第四节相似和量纲分析纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程的求解几何相似的概念运动相似的概念动力相似的概念因次，量纲的概念定理内容：0,,,,,21nmf若有m个基本量纲，则这些变量可以组成个独立的无量纲量满足：mn在一个包含n个变量的量纲和谐的物理问题中：0,,,21mnf若在n个重复变量中选择个满足相互独立条件，则该物理问题可用l)(ln个无量纲量的函数关系描述。〖例6-4〗在粘性流体中运动的小球，受到的阻力与流体的密度、动力粘性系