平面与圆锥面的截线

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆三平面与圆锥面的截线金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆1．理解圆锥面的概念．2．了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆1．如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α,直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β，则：π02金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆(1)________，l与AB(或AB的延长线)、AC相交．(2)________，l与AB不相交．(3)________，l与BA的延长线、AC都相交．2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则(1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆．(2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线．(3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线．1．(1)β＞α(2)β＝α(3)β＜α2．(1)β＞α(2)β＝α(3)β＜α金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆研究圆锥的截线，说明双曲线为β＜α时，平面π与圆锥的交线．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆解析：当β＜α时，平面π与圆锥的两部分相交．在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过点P和圆锥的顶点O作母线，分别与两个球相切于点Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2，所以|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2.由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长，因此Q1Q2的长为定值．由上述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆如图所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB是圆锥的轴截面，已知∠APC＝60°，∠BPC＝90°，PA＝4.(1)求二面角A－PC－B的余弦值．(2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆解析：(1)∵∠APC=60，∴△APC为等边三角形．如图所示，分别取PC、BC的中点D、E，连接AD、DE，则AD⊥PC，DE∥PB.又PB⊥PC，∴DE⊥PC.故∠ADE为二面角A-PC-B的平面角．连接AE，在Rt△ACE中，求得AE2=24.又AD=32PA=23，DE=12PB=2，在△ADE中，由余弦定理，得cos∠ADE=-33.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆(2)取AC的中点F，连接PF、OF，则AC⊥平面POF，从而平面PAC⊥平面POF.过点O作OH⊥PF，垂足为H，则OH⊥平面PAC，故OH的长为点O到平面PAC的距离．在Rt△ACB中，AC=PA=4，BC=2PB=42，从而AB=43，OP=2.在Rt△POF中，OF=12BC=22，OP=2，PF=32PA=23，由面积关系，得OH=OFOPPF=263.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆已知，圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．2金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆解析：设⊙O的半径为R，母线VA=l，则侧面展开图的中心角为2πRl=2，∴圆锥的半顶角=π4.连接OE.∵O、E分别是AB、VB的中点，∴OE∥VA，∴∠VOE=∠AVO=π4.又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD⊥平面VAB，∴平面CDE⊥平面VAB，即平面VAB为截面CDE的轴面，∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为π4.又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆1．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线2．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线AB金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为()A.35B.45C.12D.22C金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆4．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、________和________．5．用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是______、________.4．圆椭圆抛物线双曲线5．圆圆或椭圆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆6．已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角为30°，在轴上取一点O，使SO＝3cm，球O与这个锥面相切，求球O的半径和切圆的半径．解析：如图所示OH=12SO=32(cm)，HC=OHsin60=3232=334(cm)．所以球O的半径为32cm，切点圆的半径为334cm金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆7．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆解析：e=cos45cos30=2232=63.设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为F1、F2，MF1+MF2=AB.设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2.∵SO1=2R1，CO1=2R1，∴SC=(2+2)R1=5，即R1=5222.∵SO2=2R2，CO2=2R2，∴SC=(2-2)R2=5，即R2=5222.∵O1O2=CO1+CO2=2(R1+R2)=102，∴AB=O1O2cos30=O1O232=56，即MF1+MF2=56金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆8.顶角为90°的圆锥面中，有一个半径为2的内切球，以该球为Dandelin球作一个截面，截线为抛物线，建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程.解析：如图是几何体的轴截面，其中点P为抛物线的顶点，点Q为抛物线的焦点，以PQ所在直线为x轴，P为坐标原点建立平面直角坐标系.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆9．顶角为60°的圆锥面中有一个半径为2的内切球，以该球为焦球作一截面，使截线为抛物线，求该抛物线的顶点到焦点的距离和截面与轴的交点到圆锥顶点的距离．2p金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆解析：如图所示是圆锥的截面的轴面，其中P为抛物线的顶点，Q为抛物线的焦点，M为截面与轴的交点．设A、B为球与圆锥的母线的切点．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆由∠ASB=60，∴∠ASO=30.又OA=2，OA⊥SA，∴OS=4，易知OP⊥OS，∴OP=OStan30=433，∴2p=PQ=22OPOQ=233.又PM∥SB，∴∠PMS=∠OSB=∠OSA，∴SM=2OS=8金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆10．已知圆锥面S，母线与轴线所成的角为45°，在轴线上取一点C，使SC＝5，过点C作一平面与轴线的夹角等于30°，所截得的曲线是什么样的图形？求两个焦球的半径．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆解析：所截得的曲线是双曲线．设焦球O的半径为R，∵SO=2R，OC=2R，∴SC=(2+2)R=5，即R=522=5222.设另一焦球O′的半径为R′，则OO′=cos45RR=2(R+R′)，又截面与轴线的夹角为30，∴R′-R=12OO′=22(R+R′)，∴R′=(3+22)R=5222金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆1．圆锥面锥面：设空间有一条定曲线Σ和不在Σ上的一定点A，动点P在Σ上运动时，直线AP上的点的轨迹，叫做以A为顶点．以Σ为准线的锥面，每条直线AP都叫做此锥面的母线．如甲图所示，为一锥面，其中曲线Σ为锥面的准线，定点A为锥面的顶点，准线上任一点P与点A的连线都是锥面的母线．圆锥面：若锥面的准线为一圆，锥面的顶点在过圆心且垂直于圆所在平面的直线上，则此锥面叫做圆锥面．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆过圆锥面的顶点和它的准线圆的圆心的直线，叫做此圆锥面的轴线．如乙图所示，为一圆锥面，其准线为⊙O，顶点为A，过点A和点O的直线是圆锥面的轴线，且圆锥面上只存在母线的直线，直线l垂直于⊙O所在的平面，由旋转面和圆锥面的关系知：圆锥面可以看作是两条相交直线，其中一条直线a绕另一条直线l旋转而得到，于是也可将圆锥面定义为：金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆一条直线绕着与它相交成定角θ的另一条直线旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面，这条直线叫做圆锥面的母线．另一条直线叫做圆锥面的轴．性质1：圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等；轴线上任一点到每条母线的距离相等．如丙图所示，设⊙O为圆锥面的准线，B、C是⊙O上任两点，则AB、AC为圆锥面的母线，由OB＝OC，OA＝OA，∴Rt△AOB≌Rt△AOC，∴∠OAB＝∠OAC，即轴线与每一条母线的夹角相等．π02金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆又设M为轴线l上任一点，MN⊥AB于点N，∠OAB＝α，则MN＝AMsinα.故点M到每一条母线的距离为定值．2．垂直截面轴截面：经过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面．与轴截面相交的两条母线的夹角叫做圆锥面的顶角．轴与母线的夹角叫做圆锥面的半顶角．如果一平面垂直于圆锥面的轴线，那么这个平面叫做圆锥面的正截面．性质2：圆锥面的顶点到正截面之间所截的母线上的线段相等；正截面截圆锥的截线是圆，其半径等于dtanα，这里d是圆锥面的顶点到正截面的距离，α是圆锥面的半顶角．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆3．一般截面若平面π不和圆锥面的轴线垂直，称π为圆锥面的斜截面，过轴线并垂直于π的平面叫做π的轴面．性质3：圆锥面的斜截面的轴面，垂直于它和正截面的交线．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修4-1•(配人教A版)◆