平面向量的数量积与平面向量应用举例

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例抓基础明考向提能力教你一招我来演练返回返回[备考方向要明了]考什么1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5.会用向量方法解决简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.返回怎么考平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题目．近几年试题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力和数形结合思想.返回返回一、两个向量的夹角1．夹角的定义：定义范围已知两个向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．OAOB非零向量夹角θ的范围是,当θ＝时，两向量共线；当θ＝时，两向量垂直，记作a⊥b(规定零向量可与任一向量垂直).0或ππ2[0，π]返回2．射影的定义：设θ是a与b的夹角，则叫作向量b在a方向上的射影．叫作a在b方向上的射影．射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量．当时，它是正值；当时，它是负值；当时，它是0.3．平面向量数量积的定义：已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把叫作a与b的数量积(或内积)，记作.θ为锐角θ为钝角|a||b|cosθa·b|b|cosθ|a|cosθθ＝90°返回4．数量积的几何意义：a与b的数量积等于的乘积，或的乘积．5．数量积的物理意义：力对物体做功，就是.a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθb的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s返回二、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝．5．|a·b||a||b|.4．cosθ＝(θ为a与b的夹角).3．a·a＝，|a|＝.2．a⊥b⇒.|a|cosθ(θ为a与e的夹角)a·b＝0|a|2a·aa·b|a||b|≤返回三、数量积的运算律1．交换律a·b＝.3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．b·a(λa)·ba·(λb)返回四、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a·b＝.a1b1＋a2b22．a⊥b⇔.3．|a|＝.4．cosθ＝(θ为a与b的夹角).a1b1＋a2b2＝0a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22返回返回1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．答案：B返回2．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12答案：D解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0∴10＋2－k＝0，解得k＝12.返回3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的射影为()A．2B.32C．－2D．－32答案：D解析：|b|cosθ＝3cos120°＝－32.返回4．已知OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)，OA⊥AB，则实数m＝________.解析：∵OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)，∴AB＝(4，m－2)．∵OA⊥AB，∴－4＋2(m－2)＝0，∴m＝4.答案：4返回5．(2011·安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.答案：π3返回1．对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．返回2．相关概念及运算的区别(1)若a、b为实数，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.返回(3)若a、b、c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a、b、c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a、b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a、b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．返回返回[精析考题][例1](2010·广东高考)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3返回[自主解答]8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30，即18＋3x＝30，解得：x＝4.[答案]C返回[例2](2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.[自主解答]b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.又因为e1，e2为单位向量，夹角为＝π3，所以b1·b2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.[答案]－6返回[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·银川模拟)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则AE·BD＝________.返回解析：AE·BD＝AD＋12DC·(BA＋BC)＝AD·BA＋AD·BC＋12DC·BA＋12DC·BC＝－32.答案：－32返回2．(2012·浙江模拟)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则CP·(BA－BC)的最大值为________．返回解析：以C为原点，建立平面直角坐标系如图，则CP·(BA－BC)＝CP·CA＝(x，y)·(0,3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9.答案：9返回[冲关锦囊](1)解决与夹角有关问题时一定要注意两向量是否共起点，否则会造成失误．(2)向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法运算都可以推广到向量数量积的运算，如(a·b)c≠a(b·c).返回[精析考题][例3](2011·湖北高考)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4返回[自主解答]2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝932×3＝22，∴α＝π4.[答案]C返回解：λa＋b＝(λ＋1,2λ－1)，a－b＝(0,3)，若(λa＋b)和(a－b)的夹角为90°，∴(λa＋b)·(a－b)＝0.∴3(2λ－1)＝0.∴λ＝12.本例条件不变，若(λa＋b)⊥(a－b)，试求λ的值．返回[例4](2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.返回[自主解答]∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0.(θ为a与b的夹角)∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.[答案]1返回[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·佛山质检)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2返回答案：B解析：由a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，得b＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)．设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝222＝22，θ＝π4.返回4．(2012·郑州模拟)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，且(a＋3b)·(a＋5b)＝20，则向量a，b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°返回解析：∵(a＋3b)(a＋5b)＝a2＋15b2＋8a·b＝16＋8a·b＝20.∴a·b＝12.设向量a，b的夹角为α，则a·b＝|a|·|b|cosα＝12.∴cosα＝12，∴α＝60°.答案：C返回5．(2012·豫南九校联考)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件返回解析：由(a－mb)⊥a⇔a·(a－mb)＝0⇔|a|2－ma·b＝0⇔1－m×1×2cos60°＝0⇔m＝1.∴m＝1是(a－mb)⊥a的充要条件．答案：C返回[冲关锦囊]1．求两非零向量的夹角时要注意(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系.返回[精析考题][例5](2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________．返回[自主解答](1)法一：以D为原点，分别以DA、所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA＝(2，－x)，PB＝(1，a－x)，返回法二：设DP＝xDC(0x1)，∴PC＝(1－x)DC，PA＝DA－DP＝DA－xDC，PB＝PC＋CB＝(1－x)DC＋12DA.∴PA＋3PB＝52DA＋(3－4x)DC.∴PA＋3PB＝(5,3a－4x)，|PA＋3PB|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|PA＋3PB|的最小值为5.返回|PA＋3PB|2＝254DA2＋2×52×(3－4x)DA·DC＋(3－4x)2·DC2＝25＋(3－4x)2DC2≥25.∴|PA＋3PB|的最小值为5.[答案]5返回[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)6．(2012·江西模拟)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A.5B.10C．5D．25返回解析：∵a＝(2,1)，∴|a|＝5.又∵|a＋b|＝52，|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，∴(52)2＝(5)2＋|b|2＋2×10，|b|2＝25，|b|＝5.答案：C返回7．(2012·聊城质检)已知向量a＝(sinx,1)，b＝cosx，－12.(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；(2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．返回解：(1)由已知得a·b＝0，|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2＝sin2x＋1＋cos