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第八章航空发动机数字模型航空发动机是一个十分复杂的气动热力过程系统。为了对航空发动机进行良好的控制、预报及故障诊断，首先必须对航空发动机的特性进行分析和测定，建立航空发动机的数字模型。建立一个合理的数字模型，是发动机控制工作中必不可少的组成部分。本章研究航空发动机控制系统中被控对象的数学模型的建立。概述数字模型所谓模型就是把表征实际系统本质部分的信息减缩成有用的描述形式。模型可以模拟和依照实际系统的行为而不必是该系统实际结构的描述，只是按照实际系统的目的所做的一种近似描述。数学模型是描述实际物理系统各个物理量之间关系的数学描述。航空发动机数学模型的应用极为广泛，它是控制、预报和故障诊断一台实际发动机和分析、设计发动机控制系统的基础。航空发动机数学模型主要有以下三个方面的用途。（1）用于分析、设计发动机控制系统（2）用于预报发动机控制系统的物理量（3）用于发动机的故障诊断和容错控制分类根据不同的目的和任务研究航空发动机时，需要推导不同形式的数字模型。发动机数学模型的形式很多，一般可分为线性和非线性的，定常或时变的，静态或动态的，连续或离散的，确定或随机的，输入输出或状态空间的，集中参数或分布参数的和实时和非实时的。从研究航空发动机的特性出发，数学模型分为稳态模型、线性小偏差模型和非线性气动热力学模型三类。稳态模型用于发动机通道面积和部件特性已知、调节规律已定的条件下，计算发动机高度－速度特性和计算给定飞行条件下发动机的节流特性，获取推力、耗油率、转速、燃油消耗量及通道特征截面的压力、温度、流量等稳态特性数据。线性小偏差模型用于研究发动机在给定工作状态附近的动态特性，它是发动机控制系统分析和基于模型的故障诊断时所必需的。非线性气动热力学模型是根据发动机气动热力学过程所遵循的物理客观规律得到的一系列公式、图表、曲线等所构成的数学模型，它用于研究发动机过渡态（如发动机加、减速，接通、切断加力、起动等过程）特性，是发动机过渡态控制系统分析所必需的。在这种过程中，由于发动机的特性和参数在大范围内变化，由此对这种变化过程不可能再用线性关系式进行描述，而必须用非线性关系描述，称为非线性模型。要求由于数学模型是物理过程的数学描述，也即用数学方程式、图表、函数曲线等来反映真实的物理系统，并研究其特征，因此数学模型应满足一定的要求。燃气涡轮发动机的数学模型应满足逼真度、简单及明显性的要求。所谓逼真度就是能以规定的精度对研究对象进行定性和定量的描述。如果模型没有足够的逼真度，模型就失去了实用意义。燃气涡轮发动机数学模型的简化，在很多情况下是必需的，简化的程度根据模型的用途和具备的条件而定。但是简化必须根据具体的研究目标，保留最本质的物理关系，进行合理简化。不适当的模型简化会严重地影响逼真度。模型的明显性要求可以理解为模型所揭示的特性应很直观，使用模型仿真对象的物理特性应很清晰。建立数学模型的方法建立发动机数学模型的方法有解析法和试验法。解析法是根据航空发动机所遵循的气动热力规律，利用有关定理、定律和原理，用数学方法建立数学模型，这种方法也称为理论建模。试验法是基于发动机试验数据进行处理，获取它的特性，从而得到数学模型的方法。这种方法也称为系统意识法。试验法比解析法有一定的优点，因为它不必深入了解发动机的机理。但是这不是绝对的。试验法的关键之一是必须拟定合理的试验，以对发动机获得最大信息量。要做到这一点是很困难的。因此，两种建模方法各有所长。当理论建模得到的模型会有未知参数时，可用系统辨识法估计未知参数，这就是理论建模和系统辨识相结合的方法。实践表明，这是行之有效的方法。基本发动机的动态方程基本发动机（通称核心机）是指尾喷口不可调的非加力式单轴涡喷发动机，它是最简单、最基本的发动机，模型的建立和模型的形式也是最简单的。设基本发动机结构如图所示。这里，发动机作为被控对象，被控制量为转速n，控制量是供油量Wf，发动机的外界干扰输入为d，对航空发动机来说，外界干扰主要是飞行条件的变化，飞行条件可用（H，Ma），（p。,T。，c。）或（pt2,Tt2）来表示，其结构图如图所示。建立这类发动机的数学模型，就是要推导出输出量n与输入量Wf之间的动态方程式，即建立发动机的动态数学模型。基本发动机简图基本假设由于发动机内部的气动热力过程比较复杂，为了简化发动机数学模型的推导，特作以下假设。（1）只考虑发动机转子惯性对发动机动态特性的影响，忽略热惯性和部件通道容积动力学的影响；（2）只研究发动机在其稳态点附近的小偏离运动，并认为动态过程部件效率及总压损失系数保持不变；（3）涡轮导向器及尾喷口都处于临界以上状态工作；（4）飞行条件不变;（5）燃油泵不由发动机带动；（6）忽略燃烧延误及燃气与空气流量的差别。动态方程时间常数和放大系数的相似参数考虑干扰量的动态方程基本发动机带传动燃油泵时的动态方程以上推导的基本发动机的动态方程，是以假设（5），即以发动机不带动燃油泵为前提的。实际上，几乎所有的燃油泵均由发动机转子通过传动齿轮直接传动，而发动机的转速则直接影响燃油泵的供油量。如图所示为燃油泵环节与基本发动机环节相串联的框图。图中燃油泵作为一个环节，输出量为供油量Wf，输入量为发动机转速n（由于泵的转速与发动机转速之比一定，故常用n来代表）及油泵调节机构位置m。带传动燃油泵的基本发动机框图考虑燃油延误时的动态方程在推导基本发动机动态方程时，假设（6）曾忽略了燃油室内的燃烧过程的时间滞后。实际上，燃料供给和燃料吸热、汽化、氧化、放热以及燃气温度上升到稳定值，这整个过程是需要一定时间来完成的，通常把这段时间称为燃烧延误时间，用т表示，т在0.05~0.2s范围内变化，其值一般由试验测定。燃烧延误会影响发动机的动态特性，有时甚至会使发动机控制系统的工作产生不稳定现象。因此，在对发动机的动态特性作精确分析时应予考虑。考虑燃烧延误和基本发动机结构图线性模型的建立上述基本发动机动态方程的推导方法，只适用于求取以供油量作为输入，转速作为输出的动态方程。动态方程系数TT和KT的估算不方便。在生产和科学研究实际中，动态参数的估算，往往不是从发动机剩余扭矩偏导数进行计算，而是根据发动机压气机特性、涡轮特性、设计点发动机热力参数，以及发动机转动惯量（惯性矩）等来估算。这种方法是一种普遍适用的建立线性模型的方法。一般计算步骤为：（1）建立稳态关系式和动态关系式；（2）将非线性方程线性化，并用相对增量形式表示;（3）解线性方程组，求动态系数。下面以基本发动机为例，建立发动机的线性数学模型。建立稳态和动态关系式为了加深概念，由发动机原理，按部件法建立其稳态和动态关系式，各主要部件关系如图所示。为了简化推导，假设动态过程中Pt2＝常数，Tt2＝常数，ƞc=常数，ƞT＝常数。（1）压气机部件稳态关系（2）燃烧室稳态关系（3）涡轮部件稳态关系（4）扭矩动态方程线性化线性化方法有两种：一种是采用台劳级数展开，取导数一次项，忽略二阶和二阶以上项；另一种是先取对数，后微分，并用相对增量代替微分。解方程组求动态参数TT和KT发动机各主要部件关系非线性模型的建立航空发动机非线性模型依据气动热力学基本原理建立，该模型的建立一般采用部件法，即先构造发动机各部件的模型，然后根据各部件的匹配条件组合成整台发动机模型。由于同类部件计算方法相同，因而部件法可以提高模型的通用型，特别是采用面向对象的语言可以建立通用的航空发动机仿真平台。这里以双轴混合排气加力式涡扇发动机为例，介绍部件法建模的方法。双轴混合排气加力涡扇发动机结构和截面编号如图所示。发动机按功能可划分为如下部件：进气道、风扇、外涵道、压气机、燃烧室、高压涡轮、低压涡轮、加力燃烧室（混合室）和尾喷管等。典型双轴涡扇发动机结构图进气道以较小的损失向发动机输送均匀流畅的空气，并利用进口气流的功能来初步提高空气的压力。风扇和压气机对气体做功，增加气体的压力能和动能，使气体利于燃烧。燃烧室使气体经过喷油燃烧提高温度，高温高压的燃气涡轮内膨胀的过程中，将其一部分能量转换成机械能，通过转动轴带动风扇、压气机及飞机发动机的全部附件。由于燃烧室后燃气的膨胀功大大超过风扇、压气机和附件所需的功，因而涡轮出口气流仍具有很大的热能和压力能，这部分能量在尾喷管内的膨胀过程中转变成动能。混合室将各流路气流混合均匀，提高燃气使用效率。加力燃烧室用来进一步提高尾喷管前燃气的温度，进而增大燃气的排所速度，以增大发动机的推力。因此，气流经过发动机得到加速，它对发动机产生反作用来推动飞机前进。部件模型（1）进气道（2）风扇（3）压气机（4）燃烧室（5）高压涡轮（6）低压涡轮（7）外涵道（8）混合室（9）加力燃烧室（10）尾喷管共同工作方程航空发动机动态过程的部件级模型包括部件模型和共同工作方程求解。部件模型模拟了部件内的气动热力过程，动态过程部件之间的匹配关系通过流量连续、功率平衡等关系来确定。非线性方程组的求解发动机在动态过程中，部件的共同工作方程有非线性方程组和微分方程组表示，动态过程中的每一准稳态工作点是通过求解非线性方程组和微分方程组而获得。非线性方程组的数值解法有牛顿－莱富森法、布莱顿法、最速下降法等。微分方程组的求解微分方程常用的数值解法有欧拉法、改进欧拉法和龙格－库塔法。欧拉法简单，计算速度快，但精度不高。龙格－库塔法精度高，但算法复杂，计算工作量大。一般采用改进欧拉法。状态方程模型的建立状态方程模型（或称状态变量模型SVM）是采用线性系统理论和参数估计理论进行多变量控制器设计及故障诊断系统设计的基础，适合于作为鲁棒控制、自适应控制、飞行/推进系统综合控制和基于模型的故障诊断的模型。建模的思路是先用摄动法（或称小扰动法）获得飞行包线内发动机各个稳态工作点的状态方程模型，然后采用插值或拟合的方法，形成一个全包线内的非线性模型。其特点是不需要迭代运算，主要进行插值或拟合运算，因而运算负担轻，是一种简化的实时模型。稳态点状态方程小扰动法小扰动法是通过在发动机稳态平衡点处施加小扰动，用非线性模型进行多步动态计算，当迭代运算到流量连续准平衡条件收敛指标满足后得到状态量的导数、输出量的增量，然后用它们与扰动量的比值求出。大偏差状态变量模型在不同工作状态下，可利用不同稳态点的SVM来描述相对于该稳态点附近的小偏差运动，将一系列的SVM进行适当的组合，便可描述发动机大偏差过渡态的加、减速运动，称为大偏差状态变量模型。由于SVM是小偏差模型，其状态及输出的响应是增量形式。因此，在应用SVM对发动机的大偏差过程建模时，需要加上该稳态点的值，才能得到状态量和输出量的绝对量。这些稳态点也是大偏差状态变量模型建模中不可或缺的，称为稳态基点模型。通过若干个稳态点的SVM和稳态基点模型可以建立发动机大偏差状态变量模型。在大偏差状态变量模型的建立过程中，由于发动机工作状态的不断变化，使得SVM和稳态基点模型也在不断变化。因此，在建模过程中，需要以某个参数作为索引值，来得到这一索引值下所对应的SVM和稳态基点。通常选取风扇转速nL作为索引值。建立大偏差状态变量模型通常采用插值法和拟合法。建立发动机模型的实验法以上讨论的发动机数学模型是按发动机气动热力过程机理，流量、功率等平衡关系式建立其数学模型，即理论建模。本节讨论发动机建模的实验法，即系统辨识的方法。所谓系统辨识是在输入和输出数据的基础上，从一类模型中确定一个与所测系统等价的模型。数据、模型类和准则是系统辨识的三要素。系统辨识就是在选定的一类模型中，按照某种准则选择一个模型，使之能最好地拟合被辨识系统的动态特性。用系统辨识的方法建立被控对象的数学模型可分为非参数模型（如阶跃响应、脉冲响应等）和参数模型（如传递函数、状态空间方程等），非参数模型可以通过变换转换成参数模型。系统辨识的方法可以分为经典和现代两大类。经典辨识法如时域法、频率响应法、相关辨识法等；现代辨识法如最小二乘法、极大似然法、随机逼近法等。时域法时域法辨识对象的动态特性是用实验方法测出对象的响应曲线，与标准的传递函数响应曲线进行比较，确定所