高数2习题册

2016～2017学年第一学期高等数学Ⅱ-1练习册高等数学Ⅲ-1练习册专业:姓名:学号:1第一章函数与极限§1.1映射与函数一、本节学习目标：1.掌握常见函数的定义域，函数的特性。掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。2.熟悉基本初等函数的类型、性质及图形,了解初等函数的概念。二、本节重难点:1.a的邻域：(,){}{}(,)Uaxxaxaxaaa2.构成函数的要素:定义域及对应法则。函数相等：函数的定义域和对应法则相同。3.1,ff互为反函数，且有1fffxxxD，，1fffyyyR，.1f的定义域为f的值域。练习题1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2(),()fxxgxxB.2()ln,()2lnfxxgxxC.22(),()()fxxgxxD.22()(),()()xxfxgxxx2.下列函数中为偶函数的是（）A.cos2xxB.3cosxxC.sinxxD.2sinxx3.下列函数中，奇函数是()．A.31yxB.lnyxC.+sinyxxD.2+cosyxx4.下列函数中不是初等函数的是（）A.0000xxyxxxB.lnsin(1)yxC.2cosyxD.211101xxyxx5.凡是分段函数都不是初等函数。（）6.复合函数[g()]yfx的定义域即()ugx的定义域。（）7.函数1ln(1)yx的定义域是(1,)。（）8.满足32x的全体实数，称以为中心，为半径的邻域。9.设21(),[()]1fxffxx。10.arcsin(1)yx的定义域。211.指出函数2ln(1)yx的复合过程。12.指出函数21sin2xy的复合过程。§1.2数列的极限一、本节学习目标：1.理解数列极限的概念。二、本节重难点:1.-N“”语言：0,.lim.nnnNNnNxaxa，使得当时，有记作注：（1）的任意性。（的作用在于衡量nx与a的接近程度）（2）N的选取是与有关的。2.如果数列{}nx收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。3.推论：如果数列中两个子列的极限存在不相等，则这个数列发散。4.常用结论:(1)212limlimlimkknkknxxaxa(2)若212lim,limkkkkxx至少有一个不存在，或212lim,limkkkkxx存在，但212limlimkkkkxx，则limnnx不存在。练习题1.设数列{}nx，当n越来越大时，nxa越来越小，则lim.nnxa（）2.设数列{}nx，对0,NNnN，当时,有无穷多个nx满足,nxa则limnnxa.（）3.数列{}nx,对0，{}nx中仅有有限个nx不满足,nxa则lim.nnxa（）4.有界数列{}nx必收敛.（）5.无界数列{}nx必发散。（）6.发散数列{}nx必无界.（）7.若数列{}nx收敛，则数列{}nx有界。（）38.用数列极限的定义证明下列极限：（1）212lim313nnn（2）sinnlim0nn§1.3函数的极限一、本节学习目标：1.理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质。二、本节重难点:1.自变量趋于有限值时函数的极限：00lim(x)A(x)Axxffxx或（当）2.自变量趋于无穷大时函数的极限:lim(x)Axf或(x)A(x)f当3.(1)0lim()xxfxA00lim()lim()Axxxxfxfx.(2)0lim()xxfx不存在00lim(),lim()xxxxfxfx中至少有一个不存在,或0lim()xxfx，0lim()xxfx存在但00lim()lim()xxxxfxfx.(3)lim()xfxAlim()lim()Axxfxfx.(4)lim()xfx不存在lim(),lim()xxfxfx中至少有一个不存在,或lim()xfx，lim()xfx存在但lim()lim()xxfxfx.4.对于分段函数在其定义域内的分界点处的极限一定要讨论左、右极限。练习题1.当1x时，函数312yx，问等于多少时，能使1x时，20.01y2.当x时，函数212xyx，问X等于多少时，能使xX时，20.01y43.设3()313xxfxxx，讨论当3x时，()fx的左右极限.4.设+13()213xxfxxx，讨论当3x时，()fx的左右极限，并说明3lim()xfx是否存在。5.对函数()xfxx，回答下列问题：（1）函数()fx在0x处的左右极限是否存在？（2）函数()fx在0x处是否有极限？为什么？(3)函数()fx在1x处是否有极限？5§1.4无穷小与无穷大一、本节学习目标：1.熟悉无穷小，无穷大的概念。2.掌握无穷小的性质，会利用无穷小量的性质求极限。3.知道无穷小量与无穷大量之间的关系。二、本节重难点:1.无穷小量是一个变量.2.任何很小很小的非零数都不是无穷小量，常量中只有0是无穷小.3.无穷小量的性质：(1)两个无穷小的和是无穷小。(2)有界量与无穷小的乘积是无穷小。(3)常数与无穷小的乘积是无穷小。4.无穷大量是无界变量。5.无穷小量和无穷大量的关系：在自变量的同一变化过程,（1）如果xf为无穷大，那么1()fx为无穷小；（2）如果xf为无穷小，且0fx，那么1()fx为无穷大。练习题1.0limxxe2.limxxe3.limxxe4.10limxxe5.无穷多个无穷小量的和是无穷小量。（）6.两个无穷小量的商是无穷小量。（）7.两个无穷大的和也是无穷大。（）8.无穷大与无穷大的积也是无穷大。（）9.无穷小与无穷大的和一定是无穷大。（）10.无穷小与无穷大的积一定是无穷大。（）11.非零常量与无穷大量的乘积是无穷大。（）12.求极限01lim(sin)xxx13.求极限201lim(cos)xxx614.求极限1lim(sin)xxx15.求极限arctanlimxxx§1.5极限运算法则一、本节学习目标：1.理解并熟练掌握极限的运算法则二、本节重难点:1.函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商注意运用上述法则有前提条件：(1)函数的个数有限（2）每个函数都有极限（3）有分母时，分母的极限值不为02.00lim()()nnxxPxPx,其中()nPx为n次多项式。3.（1）0()lim()xxPxQx是00型（(),Q()Pxx同时有极限为零的因式），求极限的方法：一般地分子分母同除以为零的因式。（2）()lim()nxmPxQx是型，求极限的方法：分子分母同除以x的最高次幂。练习题1.数列{}nx和{y}n都收敛，则数列{y}nnx必收敛。（）2.数列{}nx和{y}n都发散，则数列{y}nnx必发散。（）3.若数列{}nx收敛，而{y}n发散，则数列{y}nnx必发散。（）4.若lim()0nnnab，则必有lim0nna或lim0nnb.（）5.222lim41nnnn6.2(1)(2)lim5nnnn77.3(1)(2)(3)lim21nnnnn8.111lim[+++]1335(21)(21)nnn9.132lim32nnnnn10.lim(1)nnnn11.22lim21xxx12.225lim3xxx13.2226lim4xxxx14.22234lim4xxxx15.22121lim1xxxx16.22468lim54xxxxx817.2231lim41xxxxx18.22131lim2xxxx19.35231lim427xxxxx20.32251lim465xxxxx21011lim2xxxx22.3113lim()11xxx23203050(23)(32)lim(51)xxxx24.已知,ab为常数，21lim()1xxaxbx，则a，b25.,ab为常数，已知1lim21xaxbx，则a，b.§1.6极限存在准则两个重要极限一、本节学习目标：91.理解极限存在的两个准则。2.会用重要极限来计算其他函数的极限。二、本节重难点:1.夹逼准则判别数列或函数的极限，适用于一些特定的形式，需要对数列或函数适度放大，缩小。2.单调有界准则：单调有界数列必有极限。单调有界准则是证明数列极限存在常用的形式。3.两个重要极限公式:.1sinlim0xxxexxx)11(lim推广形式：()0sinlim1()xxx，exxx)(10)(1lim练习题1.0sin3limsin5xxx2.0tan5limxxx3.1limsinxxx4.0limcotxxx5.10lim(13)xxx6.2lim(1)xxx7.52lim(1)xxx8.21lim()1xxxx109.利用极限收敛准则求极限(1)222111lim()2nnnnnn(2)233314lim()12nnnnnn（3）222111lim[](1)(2)(2)nnnn(4)数列1232,22,222,xxx的极限存在并求limnnx.1110.一投资者欲用1000元投资5年，设年利率为6%，试分别按单利、复利、每年按4次复利付息方式计算，到第5年末，该投资者应得的本利和A.§1.7无穷小的比较一、本节学习目标：1.理解无穷小量的阶的概念。二、本节重难点:1.常用的等价无穷小代换:当0x时，sinxx，ln(1)xx，tanxx,1xex,arctanxx211cos2xx,111nxxn练习题1.0sin3lim2xxx2.0tan2limsin3xxx3.201cos2limxxx4.30tansinlimxxxx5.201limxxex6.0arcsinlim5xxx127.0limsin5cot3xxx8.301+21limln13)xxx（9.20ln(13sin)limtanxxxx10.20(1)arcsinlimln12)(1cos2)xxexxx（§1.8函数的连续性与间断点§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10闭区间上连续函数的性质一、学习目标：1.理解函数连续的概念.2.理解间断点的概念，并会判别间断点的类型。3.理解连续函数的运算.4.理解并熟练掌握闭区间上连续函数的性质二、重难点:1.函数()yfx在点0x处连续0000limlim[()()]0xxyfxxfx00lim()()xxfxfx000lim()()lim()xxxxfxfxfx即000()()()fxfxfx2.间断点的分类:()()左右极限都存在左右极限至少有一个不存在左右极限相等（可去间断点）第一类左右极限不相等（跳跃间断点）间断点无穷间断点第二类震荡间断点133.复合函数的极限法则4.一切初等函数在其定义区间内都是连续的。5.幂指函数)1)(,0)(()()(xuxuxuxv，若bxvaxu)(lim,0)(lim,那么bxvaxu)()(lim.练习题1.设函