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学院姓名学号日期1.2数列的极限四川大学数学学院高等数学教研室编1一、根据数列极限的定义证明下列极限：（1）0)1(lim2=−∞→nnn；证明：对任意ε，解不等式22(1)11|0|nnnnεε−−=→取1[]Nε=，当nN时2(1)|0|nnε−−，所以0)1(lim2=−∞→nnn（2）521532lim=+−∞→nnn；证明：对任意ε，解不等式2321711||5155(51)nnnnnεε−−=→++取1[]Nε=，当nN时232||515nnε−−+，所以521532lim=+−∞→nnn。（3）0)1(lim=−+∞→nnn；证明：对任意ε，解不等式2111|10|1nnnnnnεε+−−=→++取21[]Nε=，当nN时|10|nnε+−−，所以0)1(lim=−+∞→nnn。（4）sinlim0nnn→∞=.证明：对任意ε，解不等式sin11|0|nnnnεε−→取1[]Nε=，当nN时sin|0|nnε−，所以sinlim0nnn→∞=。二、设}{nx为一数列，（1）证明：若axnn=∞→lim，则||||limaxnn=∞→；（2）问：(1)的逆命题“若||||limaxnn=∞→，则axnn=∞→lim”是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例.学院姓名学号日期1.2数列的极限四川大学数学学院高等数学教研室编2证明：（1）根据axnn=∞→lim,对任意ε，存在N0,当nN时||nxaε−.由于||||||||nnxaxaε−−，所以||||limaxnn=∞→。（2）不成立。例如lim|(1)|1,lim(1)nnnn→∞→∞−=−不存在。三、判断下列命题的正误：（1）若数列}{nx和}{ny都收敛，则数列}{nnyx+必收敛.（√）（2）若数列}{nx和}{ny都发散，则数列}{nnyx+必发散.（×）（3）若数列}{nx收敛，而数列}{ny发散，则数列}{nnyx+必发散.（√）四、证明：对任一数列}{nx，若axkk=−∞→12lim且axkk=∞→2lim，则axnn=∞→lim.证明：根据axkk=−∞→12lim,对任意ε，存在N10,当kN1时21||kxaε−−;根据2limkkxa→∞=,存在N20,当kN2时2||kxaε−.取2max(1,2)1NNN=+，当nN时||nxaε−，所以axnn=∞→lim。学院姓名学号日期1.3函数的极限四川大学数学学院高等数学教研室编3一、根据函数极限的定义证明下列极限：（1）12)25(lim2=+→xx；证明：对任意ε0，解不等式|5212|5|2||2|5xxxεε+−=−→−取5εδ=，当0|2|xδ−,|5212|xε+−，所以12)25(lim2=+→xx。（2）4lim22=→xx；证明：对任意ε0，(|2|1x−)解不等式2|4||2|xxε−−取min(1,)δε=，当0|2|xδ−,2|4|xε−，所以4lim22=→xx。（3）224lim42xxx→−−=−+.证明：对任意ε0，解不等式24|4||2|2xxxε−+=++取δε=，当0|2|xδ+,24|4|2xxε−++，所以224lim42xxx→−−=−+。二、证明11)14(lim3=−→xx，并求正数δ，使得当δ−|3|x时，就有001.0|11)14(|−−x.证明：对任意ε，解不等式|4111|4|3||3|4xxxεε−−=−⇒−取4εδ=，当0|3|xδ−,|4111|xε−−，所以11)14(lim3=−→xx。当ε=0.0001，0.000025δ=三、根据函数极限的定义证明下列极限.（1）01lim2=∞→xx；证明：对任意ε0，解不等式22111|0|||xxxεε−=→学院姓名学号日期1.3函数的极限四川大学数学学院高等数学教研室编4取1Xε=，当||xX,21|0|xε−，所以01lim2=∞→xx。（2）0coslim=+∞→xxx；证明：对任意ε0，解不等式2cos11|0|xxxxεε−≤→取21Xε=，当xX,cos|0|xxε−，所以0coslim=+∞→xxx。（3）2112lim22=+∞→xxx.证明：对任意ε0，解不等式22221111||2122(21)xxxxxεε−=→++取1Xε=，当||xX,221||212xxε−+，所以2112lim22=+∞→xxx。四、证明11lim=−+∞→xxx，并求正数X，使得当xX时，就有01.0|11|−−xx.证明：对任意ε0(x2)，解不等式2111|1|11xxxxxεε−=→−−取21Xε=，当xX,|1|1xxε−−，所以11lim=−+∞→xxx。当ε=0.01，X=10000.五、证明：Axfx=∞→)(lim的充分必要条件是Axfx=−∞→)(lim且Axfx=+∞→)(lim.证明：(充分性)根据Axfx=−∞→)(lim，Axfx=+∞→)(lim.对任意ε0，存在10,20XX，当1xX或2xX−时，|()|fxAε−。取max(1,2)XXX=，当||xX,|()|fxAε−，所以Axfx=∞→)(lim。(必要性)显然学院姓名学号日期1.3函数的极限四川大学数学学院高等数学教研室编5六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：（1）limarctanxx→−∞，limarctanxx→+∞和limarctanxx→∞；解:limarctan2xxπ→−∞=−,limarctan2xxπ→+∞=,limarctanxx→∞不存在（2）limsgnxx→−∞，limsgnxx→+∞和limsgnxx→∞解:limsgn1xx→−∞=−，limsgn1xx→+∞=，limsgnxx→∞不存在（3）limxxe→−∞，limxxe→+∞和limxxe→∞.解:lim0xxe→−∞=，limxxe→+∞=+∞，limxxe→∞不存在七、证明：若)(lim0xfxx→存在，则函数)(xf在0x的某个去心邻域内有界.证明：设0lim()xxfxA→=，.对ε=1，存在0,δ当00||xxδ−时，|()|1fxA−。即1()1AfxA−+，函数)(xf在0x的某个去心邻域内有界.八、证明：函数)(xf当0xx→时的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限均存在并且相等，即)(lim)(lim)(lim000xfAxfAxfxxxxxx+−→→→==⇔=.证明：(充分性)根据00lim()lim()xxxxfxAfx−+→→==.对任意ε0，存在120,0δδ，当100xxδ−−或020xxδ−时，|()|fxAε−。取12min(,)δδδ=，当00||xxδ−,|()|fxAε−，所以0lim()xxfxA→=。(必要性)显然九、设||)(xxf=，求0lim()xfx−→，0lim()xfx+→和0lim()xfx→.解：1)(lim,1)(lim,1)(lim000===→→→+−xfxfxfxxx.十、设xxfsgn)(=，求0lim()xfx−→，0lim()xfx+→和0lim()xfx→.解：)(lim,1)(lim,1)(lim000xfxfxfxxx→→→=−=+−不存在.学院姓名学号日期1.4无穷小与无穷大四川大学数学学院高等数学教研室编6一、填空题（1）当→x∞时，11−x是无穷小；当→x1时，11−x是无穷大.（2）当→x0−时，xe1是无穷小；当→x0+时，xe1是无穷大.（3）当→x1时，xln是无穷小；当→x0+时，xln是负无穷大；当→x__+∞时，xln是正无穷大.二、选择题当0→x时，函数xx1cos1是（D）.（A）无穷小；（B）无穷大；（C）有界的，但不是无穷小；（D）无界的，但不是无穷大.三、证明函数xxxfsin)(=在)0(∞+，内无界，但当+∞→x时，)(xf不是无穷大.证明:取+∞→=+=πππkxfkkxkk2)(),0(,22，xxxfsin)(=在)0(∞+，内无界；取0)(),0(,2==kkxfkkxπ，当+∞→x时，)(xf不是无穷大.四、判断下列命题的正确性：（1）两个无穷小的和也是无穷小.（√）（2）两个无穷大的和也是无穷大.（×）（3）无穷小与无穷大的和一定是无穷大.（√）（4）无穷小与无穷大的积一定是无穷大.（×）（5）无穷小与无穷大的积一定是无穷大.（×）（6）无穷大与无穷大的积也是无穷大.（√）五、举例说明：（1）两个无穷小的商不一定是无穷小；（2）无限个无穷小的和不一定是无穷小.解：（1）当0→x时，1sin→xx；02→xx（2）当∞→n时，121...121++nn，不是无穷小.学院姓名学号日期1.4无穷小与无穷大四川大学数学学院高等数学教研室编7六、根据定义证明：（1）当0→x时，xxxf1sin)(=为无穷小；（2）当+→0x时，xexf1)(=为无穷大；（3）当−∞→x时，xexf=)(为无穷小.证明：（1）对任意ε0,根据不等式ε≤=−|||1sin||||0)(|xxxxf，取δ=ε，当δ||0x时，01sinlim0=→xxx，即xxxf1sin)(=为无穷小；（2）对任意M0,根据不等式)0(ln1ln1|)(|1→→=εεεxxexfx，任取δ0，当δx0时，∞=+→xxe10lim，即xexf1)(=为无穷大；（3）对任意ε0,根据不等式εεεln1ln1|0)(|1→→=−xxexfx，任取M=εln1−0，当Mx−时，0lim=−∞→xxe，即xexf=)(为无穷小.学院姓名学号日期1.5极限运算法则四川大学数学学院高等数学教研室编8一、算下列极限:（1）)423(lim22+−→xxx；（2）213lim221−+−→xxxx；（3）24lim22−−→xxx；解：（1）1242223)423(lim222=+•−•=+−→xxx；（2）121131213lim221=−+−=−+−→xxxx；（3）412lim24lim222=+=−−→→xxxxx；（4）11lim1−−→xxnx（n是正整数）；（5）)1113(lim31xxx−−−→；（6）hxhxh330)(lim−+→.解：（4）nxxxxxnnxnx=++++=−−−−→→)1...(lim11lim2111；（5）3112lim12lim)1113(lim2132131=++−=−−−=−−−→→→xxxxxxxxxxx；（6）222032203303)33(lim33lim)(limxhxhxhhxhhxhxhxhhh=++=++=−+→→→.二、计算下列极限：（1）)12)(13(lim2xxx+−∞→；（2）1413lim22−++∞→xxxx；解：（1）6)12)(13(lim2=+−∞→xxx；（2）43/1/14/13lim1413lim2222=−++=−++∞→∞→xxxxxxxx；（3）151lim232+−++∞→xxxxx；（4）11053lim2+−+∞→xxxx；解：（3）0/1/15/1/1/1lim151lim232232=+−++=+−++∞→∞→xxxxxxxxxxx；学院姓名学号日期1.5极限运算法则四川大学数学学院高等数学教研室编9（4）∞=+−+=+−+∞→∞→222/1/10/5/13lim11053limxxxxxxxxx；（5）222121lim(...)nnnnn→∞−+++；（6）221...lim(||1||1)1...nnnaaaabbbb→∞++++++++，；解：（5）21)1(21lim)1...21(lim2222=+=−+++∞→∞→nnnnnnnnn；（6）abbaabbbbaaannnnnn−−=−−−−=++++++++++∞→∞→111111lim