第1章 刚体静力学基础

第1篇静力学引言静力学是研究物体在力系作用下的平衡规律及其应用的科学。其理论和方法不仅是工程构件静力设计的基础，而且在解决许多工程技术问题中有着广泛应用。力，是物体间相互的机械作用，这种作用将使物体的运动状态发生变化（称为力的运动效应，即外效应），或使物体发生变形（称为力的变形效应，即内效应）。力的内、外效应总是同时产生的。在静力学中，所指的物体都是刚体，这是一种理想化的力学模型，不考虑力的变形效应。实践表明，力的效应唯一地决定于力的三要素：（1）力的大小；（2）力的方向；（3）力的作用位置或作用点。因此，力是矢量，用F表示，而F仅仅表示力的大小。在国际单位制中，力的单位是N或kN。力系，是作用在物体上的力的集合。对同一物体产生相同作用效应的力系称为等效力系。如果某力系与一个力等效，则这个力称为该力系的合力，而力系中的各个力称为此合力的分力。作用于刚体并使刚体保持平衡的力系称为平衡力系，或称零力系。静力学主要研究以下三个方面的问题：1、物体的受力分析分析物体受几个力作用，以及每个力的作用位置。2、力系的等效替换（或简化）将作用在物体上的一个力系用与它等效的另一个力系来替换，称为力系的等效替换。如果用一个简单力系等效替换一个复杂力系，则称为力系的简化。3、力系的平衡条件研究作用在刚体（系）上的力系使刚体（系）保持平衡时所需满足的条件。在刚体静力学的基础上，考虑变形体的特性，可进一步研究变形体的平衡问题。第1章刚体静力学基础本章阐述静力学公理，并介绍工程中常见的约束和约束力分析，以及物体的受力分析。同时，介绍力学模型及力学建模的概念。§1.1静力学公理在力的概念形成的同时，人们对力的基本性质的认识逐步深入。静力学公理就是对力的的基本性质的概括与总结，它们以大量的客观事实为依据，其正确性已为实践所证实。公理1二力平衡条件作用在刚体上的两个力使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。该公理阐述了静力学中最简单的二力平衡条件，这是刚体平衡最基本的规律，也是推证力系平衡条件的理论基础。需要指出的是，该公理只适用于刚体，对于变形体，它所给出的平衡条件是不充分的。工程实际中常遇到只受两个力作用而保持平衡的构件，称为二力构件或二力杆。根据公理1，无论二力构件形状如何，其所受的两个力的作用线必定沿两个力作用点的连线，且大小相等，方向相反，如图1.1所示。图1.1公理2力平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点在该点，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图1.2（a）所示。或者说，两个共点力的合力矢等于这两个力矢的矢量和，即12RFFF错误!未找到引用源。（1.1）图1.2当然，也可简化为作一力三角形求两汇交力合力的大小和方向（即合力矢），如图1.2（b）、（c）所示。该公理是复杂力系简化的基础。公理3加减平衡力系原理在作用于刚体的已知力系中加上或减去任意的平衡力系后所得到的力系与原力系对刚体的作用效应是等效的。需要指出的是，该公理也只适用于刚体，它是力系等效替换的理论依据。根据上述公理可以导出下列推理：推理1力在刚体上的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线滑移到刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用效应。证明：在刚体上的点错误!未找到引用源。A作用力F，如图1.3（a）所示。根据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点B，并加上两个相互平衡的力1F和2F，使21FFF，如图1.3（b）所示。由于力错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。也是一个平衡力系，故可减去，这样只剩下一个力错误!未找到引用源。，如图1.3（c）所示，即原来的力错误!未找到引用源。沿其作用线滑移到了刚体上点错误!未找到引用源。。图1.3由此可见，对于刚体而言，力的作用点并不重要，真正影响力对刚体作用效应的是力的作用线。因此，作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线。这种矢量称为滑动矢量。需要指出的是，力的可传性只适用于刚体，因此，它仅适用于研究力的运动效应，而不适用于研究力的变形效应。推理2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。利用力平行四边形法则和二力平衡条件，读者可自行证明该定理。公理4作用和反作用公理作用力和反作用力总是同时存在，且大小相等、方向相反，沿同一直线分别作用在两个相互作用的物体上。若用错误!未找到引用源。表示作用力，F错误!未找到引用源。表示反作用力，则FF该公理概括了物体间相互作用时力之间的关系，无论物体静止还是运动，它都普遍适用。由作用和反作用公理可知，力总是成对出现的，有作用力必然有反作用力。但是，需要注意的是，作用力和反作用力不是作用在同一物体上，而是分别作用于两个相互作用的物体上。所以，尽管二者大小相等、方向相反、沿同一作用线，但却不能相互平衡。这与二力平衡条件是有本质区别的。公理5刚化公理变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。该公理提供了把变形体视为刚体的条件。如图1.4（a），把处于平衡状态的绳索刚化成刚性杆，其平衡状态保持不变。反之却不一定成立，如图1.4（b）。可见，刚体平衡的充要条件，对于变形体的平衡而言只是必要的而非充分的。（a）（b）图1.4§1.2约束和约束力有些物体，例如：飞行的飞机、炮弹和火箭等，它们在空间的位移不受任何限制。位移不受限制的物体称为自由体。相反，有些物体在空间的位移却要受到一定的限制。如机车受铁轨的限制，只能沿轨道运动；电机转子受轴承的限制，只能绕轴线转动；重物由钢索吊住，不能下落等。位移受到限制的物体称为非自由体。对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。例如，铁轨对于机车，轴承对于电机转子，钢索对于重物等，都是约束。从力学角度分析，约束对物体的作用，实际上就是力，这种力称为约束力。因此，约束力的方向必然与该约束所能阻碍的物体的位移方向相反。应用这个准则，可以确定约束力的方向或作用线的位置，但不能确定约束力的大小。在静力学问题中，约束力和物体所受的其它已知力（称为主动力）组成平衡力系，因此可以通过力系的平衡条件求出未知的约束力。显然，当主动力改变时，约束力一般也随之发生改变，从这个角度看，约束力是被动的，这也是将约束力之外的力称为主动力的原因。下面介绍几种工程中常见的约束类型和确定约束力方向的方法。1、光滑接触面约束两物体直接接触，接触处光滑无摩擦，这种约束称为光滑接触面约束。此种情形下，无论接触面是平面或曲面，都不能限制物体沿接触面切线方向的运动，而只限制物体沿着接触面的公法线指向约束物体方向的运动。因此，光滑接触面对物体的约束力通过接触点，方向沿着接触面公法线方向，并指向被约束物体，通常用NF表示。如图1.5中的NAF，NCF和图1.6中的NAF，NBF，NCF错误!未找到引用源。等。图1.5图1.62、柔性约束绳索、工业带、链条等都可以理想化为柔性约束，统称为柔索。如图1.7所示，由于绳索本身只能承受拉力，所以它作用于物体的约束力也只可能是拉力。可见，绳索对物体的约束力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体。通常用错误!未找到引用源。或TF表示这类约束力。同样，工业带、链条等也都只能承受拉力，当它们绕在轮子上时，对轮子的约束力沿轮缘的切线方向背离被约束的轮子，如图1.8所示。图1.7图1.83、光滑圆柱铰链约束光滑圆柱铰链又称柱铰，或者简称铰链，是指两个构件钻有同样大小的圆孔，并用与圆孔直径基本尺寸相同的光滑圆柱销连接而构成的约束，如图1.9所示。圆柱销连接处称为铰接点。图1.9这类约束限制物体沿圆柱销的任意径向方向的移动，而不能限制物体绕圆柱销轴线的转动和沿平行圆柱销轴线方向的移动。在不考虑摩擦的情况下，圆柱销钉和圆孔是光滑接触，所以约束力应沿接触点的公法线且垂直于轴线。但是，由于工作过程中接触点的位置不能预先确定，因此约束力的方向也不能预先确定，如图1.10所示。可见，光滑圆柱铰链的约束力在垂直于圆柱销轴线的平面内，通过圆柱销中心，但其大小和方向均不确定。这种情况下，通常用两个正交分力xF，yF来表示，其中xF，yF的指向可任意假定。图1.10在用圆柱销连接的两个构件中，若两个构件都是活动的，则这种铰链约束称为活动铰。活动铰的简图及约束力表示如图1.11（a）和（b）。（a）（b）图1.11在用圆柱销连接的两个构件中，若其中一个构件固定在地面或机架上，则这种铰链约束称为固定铰，如图1.13（a）。固定铰的简图及约束力表示如图1.12（b）和（c）。图1.12在用圆柱销连接的两个构件中，若其中一个与支座连接，而支座下面又安装一排轮子，这就构成了辊轴支座，也称为可动铰，如图1.13（a）。这种约束不能限制物体沿支撑面移动和绕圆柱销轴线的转动，而只能限制物体沿支撑面法线方向移动。所以，可动铰的约束力垂直于支撑面，通过圆孔中心，指向可任意假定。可动铰的简图及约束力表示如图1.13（b）和（c）。图1.134、向心轴承向心轴承是机器中常见的一种约束，如图1.14（a）所示。这种约束与铰链约束相同具有完全相同的特征，所不同的是轴承是约束，而轴本身是被约束物体。因此，无论约束力的方向如何，其作用线必定垂直于轴线并通过轴心。当主动力不确定时，约束力的方向不能预先确定。所以，通常用通过轴心的两个正交分力表示向心轴承的约束力，如图1.14（b）所示。若向心轴承的一端固定，则此时轴沿轴向的位移受到了限制，这种约束称为止推轴承，如图1.14（c）所示。与向心轴承相比，止推轴承多了一个轴向的约束力，因此其约束力表示如图1.14（d）。图1.145、球铰链球形铰链简称球铰，被约束物体上的球头与约束物体上的球窝连接，如图1.15（a）所示。这种约束的特点是被约束物体可绕球心任意转动，但不能有沿任意方向的移动。因此，球铰的约束力为空间力，一般用三个正交分力AxF，AyF，AzF表示，如图1.15（b）所示。与圆柱铰链约束类似，球铰也有固定球铰与活动球铰之分，如图1.15（c）、（d）。（a）（b）（c）（d）图1.15以上仅介绍了几种工程中常见的简单约束，实际工程中约束的类型远不止这些，有的约束比较复杂，分析时需要加以简化或抽象。§1.3受力分析与受力图·力学模型和力学简图1、受力分析与受力图作用在物体上的力可分为两类：一类是主动力，例如：物体的重力、风力等，一般是已知的；另一类是约束对物体的约束力，为未知的被动力。分析力学问题时，往往首先需要根据问题的性质、已知量和待求的未知量，选择某一物体（或几个物体组成的系统）作为研究对象，并假想地将所研究的物体从与之接触或连接的物体中分离出来，即解除其所受的约束而代之以相应的约束力。解除约束后的物体，称为分离体。分析作用在分离体上的全部主动力和约束力，画出分离体的受力简图，即受力图。这一过程即为受力分析。受力分析是分析力学问题的重要基础。具体步骤如下：（1）选定合适的研究对象，确定分离体；（2）画出所有作用在分离体上的主动力（一般皆为已知力）；（3）在分离体的所有约束处，根据约束的性质画出相应的约束力。当选择若干个物体组成的系统作为研究对象时，作用于系统上的力可分为两类：系统外物体作用于系统内物体上的力，称为外力；系统内物体间的相互作用力称为内力。应该指出，内力和外力的区分不是绝对的，内力和外力只有相对于某一确定的研究对象才有意义。由于内力总是成对出现的，不会影响所选择的研究对象的平衡状态，因此，在受力图上不必画出。此外，当所选择的研究对象不止一个时，要正确应用作用与反作用公理，确定相互联系的研究对象在同一约束处的约束力。例1.1如图1.16（a）所示，在平面刚架ABCD的E处作用水平力F错误!未找到引用源。。不计刚架自重，试画出该刚架平衡时的受力图。图1.16解：（1）取研究对象。把刚架ABCD错误!未找到引用源。从周围的约束中分离出来，如图1.16（b）所示。（2）分析主动力。在刚架E处作用有水平