2016年10月线性代数(经管类)04184自考试题及解答

12016年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.已知二阶行列式12122aabb，则12212222aaabbb（）A.4B.2C.2D.4D2.设矩阵*2003A，则1A（）A.120013B.130012C.130012D.120013B3.设n阶矩阵,,ABC满足ABCE，则（）A.111ABCB.111ACBC.1BCAD.1BACC4.设向量组12,,,saaa可向量组12,,,t线性表出，下列结论正确的是（）A.若st，则12,,,saaa线性相关C.若12,,,t线性无关，则stB.若st，则12,,,t线性相关D.若12,,,saaa线性无关，则stA5.设3元线性方程组Axb，已知()(,)2rArAb，其两个解12,满足12(1,0,1)T，12(3,2,1)T，k为任意常数，则方程组Axb的通解为（）A.1(1,0,1)(3,2,1)2TTkB.1(3,2,1)(1,0,1)2TTk2C.(1,0,1)(3,2,1)TTkD.(3,2,1)(1,0,1)TTkA二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。6.设1001()213312xfxaxa，则0a-57.2阶行列式1234第二行元素的代数余子式之和为-18.已知矩阵(1,0,1)(2,1,1)AB，，且TCAB，则2C9.设A为2阶矩阵，若存在矩阵0110P，使得11234PAP，则A10.设向量123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,0,0)TTTT，则由向量组123,,线性表出的表达式为11.设向量组123(2,1,3),(1,0,1),(2,1,0)TTTk线性相关，则数k12.设向量12(1,1,2)(4,0,)TTk与正交，则数k13.设3元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵A经初等行变换化为1231011200(2)(1)1Akkk3若该方程组有无穷多解，则数k14.矩阵2312A的两个特征值之和等于15.二次型22121212(,)2fxxxxxx的规范型为三、计算题：本大题共有7小题，每小题9分，共63分。16.计算行列式111213212223313233abababDabababababab解：1112131112132122232121213132333131310ababababababDabababaaaaaaabababaaaaaa17.设矩阵321210100A，求*A及1A。解：32121010100A，A可逆1121310,0,1,AAA1222320,1,2,AAA1323331,2,1,AAA*001012121A，1*0011012021AAA18.设A为3阶矩阵，将A第一行的2倍加到第三行得到矩阵A,再将B第二列与第三列互换得到单位矩阵E，求矩阵A。解：由题设可知，存在初等矩阵100100010,001201010PQ4使,,PABBQE即PAQE所以1111100100100010001001201010210APEQPQ19.求向量组123(1,2,31)23,4,3)(0,0,12)TTT，，（，，，，45(3,4,3,9),(1,1,2,0)TT的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示。解：1234512031100112304101021,,,,34132001211329000000可知向量组的秩为3，一个极大线性无关组为123,,，412322，4123。20.求线性方程组124134123412343222122622342xxxxxxxxxxxxxx的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。解：对方程组增广矩阵进行初等行变换：11012100211022101113,22165001011234200000Ab5得同解方程组14324441213xxxxxxx从而方程组的通解为1,3,1,02,1,0,1TTxk，k为任意常数。21.设A为3阶实对称矩阵，已知12()2,(1,0,1),(1,0,1)TTrA分别是A的属于特征值121,1的特征向量，求A的另一个特征值和对应的特征向量。解：设1为A的另一个特征值，1为A的属于其的特征向量由于()2rA，故1230A，而121,1，因此30又A为3阶实对称矩阵，故3与12,都正交，令3123,,Txxx，则130T，230T，即131300xxxx，得基础解系(0,1,0)T所以A的属于特征值30的全部特征向量为(0,1,0)Tk，k为任意常数。22.求正交变换xQy，将二次型22121212(,)2fxxxxxx化为标准型。解：二次型的矩阵1111A由11(1)011EA，得A的特征值为12，20对2，解(2)0EAx，得基础解系1(1,1)T，单位化得111,22T，6对0，解(0)0EAx，得基础解系1(1,1)T，单位化得211,22T令121212,1212Q，则Q为正交矩阵，从而经正交变换112212121212xyxy将二次型化为标准型212fy四、证明题（本题7分）23.设12,是齐次线性方程组0Ax的一个基础解系，证明1122，2122也是方程组0Ax的一个基础解系。证明：由10A，20A得112(2)0AA，212(2)0AA可知12,也是方程组0Ax的解。设有常数12,kk使得11220kk，即112212(2)(2)0kk，整理为121122(2)(2)0kkkk由于12,线性无关，得到12122020kkkk，推出120kk因此12,线性无关，由于12,是0Ax的基础解系，故该方程组的任意两个线性无关的解都是它的基础解系，从而12,也是0Ax的基础解系。