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3.1.5空间向量运算的坐标表示龙泉一中高级数学组乔书沛【学习目标】1、掌握空间向量加、减法和数乘的坐标表示；2、掌握数量积的坐标表示；3、能够应用空间向量的坐标表示求向量的模及夹角。【学习重点】空间向量加减法和数乘的坐标表示。【学习难点】应用向量的坐标表示求向量长度及夹角。【学习过程】一、学习准备：复习填空：平面向量的直角坐标运算已知11(,)axy，22(,)bxy则有：()ab()ab()a()ab或二：学习探究：类比填空，空间向量的坐标运算已知111(,,)axyz，222(,,)bxyz则有：()ab()ab()a()ab或试一试：已知a（，，），b（，，），求（）3ab；（）ab：距离公式的探究：在空间直角坐标系中，已知111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz则AB即：向量的坐标等于向量终点坐标减去起点坐标。ABABd，这就是空间两点间的距离公式。特别地，OA归纳总结：用向量的思想和方法推出两点间的距离公式。试一试：求以下两点的距离：（1）（，，），（，，）（2）（，，），（，，）：两空间向量夹角公式的探究：已知111(,,)axyz，222(,,)bxyz则有：cos,ab思考：当＜cos,ab＜时，夹角,ab的范围当＜cos,ab＜时，夹角,ab的范围当cos,ab时，夹角,ab等于归纳总结：通过与平面向量类比，仔细体会公式推导过程，近而和余弦函数的值域建立联系，得到空间两向量的夹角范围。试一试：求下面一组向量的夹角的余弦：（）、(2,3,3),(1,0,0)ab：向量平行（共线）与垂直条件的探究已知111(,,)axyz，222(,,)bxyz则有：（）若0b则//ab()a⊥b归纳总结：根据平行与垂直的性质，通过计算得到具体的数量之间的关系。三、典例解析：例、如图，在正方体1111ABCDABCD中，点11,EF分别是1111,ABCD的一个四等分点，求1BE与所成角的余弦值；思路启迪：根据图形特点建立空间直角坐标系，再利用空间向量所成角的余弦公式。解：解题反思：利用空间向量解题一般可以分为哪些步骤？对于任意向量a与向量b它们所成的夹角与它们所在直线的夹角有什么关系？变式练习：在正方体1111ABCDABCD中，分别是1BB，11DB的中点，求证：⊥1DA。证明：F1E1C1B1A1D1DABC1FD【学习反思】本节课你都学了哪些知识点？你学到了哪些思想和方法？【学习评价】自我测评、向量a（1,2,3），则向量a的模是（）1411、已知2(,2,2),(2,,5),().axbxfxab则()fx的表达式为（）、2()2210fxxx、2()2210fxxx、2()2210fxxx、2()2210fxxx、若(2,1,3),(1,2,9)axby，如果,ab为共线向量，则（）、,、11,22xy、13,62xy、13,62xy、已知(3,0,1),(0,2,0),(2,4,2)ABC，则三角形是（）、等边三角形、等腰三角形、直角三角形、以上都不对、在长方体ABCDABCD中，2,1,3ABBCDD，则AC与BD所成角的余弦值（）、、37070、37070、7070.基本知识：（）空间向量的模的公式与两点间的距离公式；（）两个向量的夹角公式；（）空间向量加法、减法、数乘及数量积的坐标表示。.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点用坐标表示，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。明天会更好，相信自己没错的！我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。