西安交通大学2007-2011概率论与数理统计期末试题及答案

西安交通大学考试题课程概率论与数理统计（A）一、填空题(6×4分=24分)1.设A、B、C是三个事件，且()()()0.25PAPBPC,()()0PABPBC，()0.125PAC，则A，B，C至少有一个发生的概率为______。2．在一副扑克牌（52张）中任取4张，则4张牌花色全不相同的概率为___________.3．设总体2(0,)XN,1215(,,)XXX是来自X的简单随机样本，则统计量2251221562()XXYXX服从的分布是________。4．设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知(1)(2)1EXX，则=。5．设两个随机变量X与Y的方差分别为25和36,相关系数为0.4,则()DXY__________,()DXY________。6.参数估计是指_________，包括_________与_________两种估计方式。共4页第1页二、(12分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。（1）求任意取出一个零件是合格品的概率是多少？（2）如果任取的零件是废品，求它是由第二台车床加工的概率。三、(12分)对敌方的防御工事进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69，求在100次轰炸中有180到200颗炸弹命中目标的概率。共4页第2页四、(16分)设总体X的密度函数为1,01(;)0,xxfx其他,其中0为未知参数，1(,,)nXX为来自总体X的一个简单随机样本。求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。五、(10分)设ˆ是的无偏估计量，证明：若ˆ是的均方相合估计，则ˆ一定是的相合估计。共4页第3页六、(12分)设随机变量(,)的分布密度为3,01,0(,)0,xxyxfxy其它.求的分布函数和概率密度。七、(14分)新旧两个水稻品种进行对比试验，旧品种共分成25个小区，平均产量136.65xkg，样本标准差12.32Skg；新品种共分成20个小区，平均产量237.35xkg，样本标准差21.89Skg。问新品种是否优于旧品种?（0.05，并假定水稻产量服从正态分布）注：(1.8)0.9641(2.0)0.9772(1.54)0.9394F0.025(24,19)=2.45,F0.025(19,24)=2.331,F0.975(24,19)=0.429,F0.05(24,19)=2.11,F0.05(20,25)=2.01,F0025(20,25)=2.3,0.05(25)1.7081t,0.05(20)1.7247t,0.05(43)1.681t共4页第4页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48考试时间：2007年7月9日一、填空题(24分)58;445213C或0.1055;F(5,10);1;85,37;由样本对总体中的未知参数进行估计，点估计,区间估计.二、设Ai={任意取出一个零件是第I台机床生产的}，（i=1,2）B={任意取出一个零件是合格品}(1)2121()()(|)(10.03)(10.02)0.97333iiiPBPAPBA(6分)(2)2222110.02()(|)3(|)0.25210.030.02()(|)33iiiPAPBAPABPAPBA(6分)三、令第i次轰炸命中目标的炸弹数为ix，100次轰炸中命中目标的炸弹数为1001iiXx。由独立同分布中心极限定理知，X近似服从2(,)Nnn。(5分)代入已知数据，即(200,169)XN，所求概率为180200200220200180200169169169XPXP2020020131313XP(1.54)(1.54)＝0.9394－（1－0.9394）＝0.8764(7分)四、(1)11100()1EXxfxdxxdxxdx令EXX,即1X,得1XX,故的矩估计为21XX(6分)（2）似然函数为1()(;)nkkLfx11,01(1,,),0,nkkkxxkn其它121,01(1,,),0,nnkkkxxkn其它当01(1,,)kxkn时，1ln()ln(1)ln2nkknLx，求导得似然方程1ln()1ln022nkkdLnxd其唯一解为221(ln)nkknx，故的极大似然估优于旧品种。(7分)第1页计为221(ln)nkknx(10分)五、由题知ˆ()E，且2ˆL，故22ˆˆˆˆ()(())()0PDEeE(5分)由切比雪夫不等式得，2ˆ()ˆˆ()0PDPE(5分)六、()()(,)xyzFzPzfxydxdy当Z0时，()0Fz，当01z时,333()322DFzxdxdyzz当1z时,112000()331xFzxdxdyxdx(8分)2'3(1),01()()20,zzfzFz其它(4分)七、两个总体方差未知，先检验它们是否相等，令22012:H，22112:H，选取检验统计量2122SFS,在H0成立前提下，12(1,1)FFnn，n1=25,n2=20,查表得F0.025(24,19)=2.45,F0.975(24,19)=0.429,F的观察值222.321.507(0.429,2.45)1.89f,故接受H0，即认为2212.(7分)(1)在2212的条件下，进一步检验假设：012:H，112:H。选取检验统计量122211221212(1)(1)111XXTnSnSnnnn,在H0成立前提下，12(2)Ttnn。查表得120.05(2)(43)1.681tnnt,而T的样本观察值为35.6537.352.6471.681112.1412520t,故拒绝H0，即认为新品种第2页西安交通大学考试题课程概率论与数理统计（A）卷题号一二三四五六七八得分一、填空：（4*8=32分）（注：答案写在答题纸上）1、已知3.0AP，4.0BP，5.0BAP，PBAB。2、设X～pB,2，Y～pB,3，若951XP，则1PY。3、10个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任一层走出电梯（从第二层开始），则此10个人在不同楼层走出电梯的概率。4、设随机变量X服从参数为2的指数分布，21XYe的概率密度为。5、设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为：4,01,01(,)0,xyxyfxy其它，则()PXY。6、已知..,,rvXYZ有()()1EXEY，()1EZ，222()()()2EXEYEZ，,,,110;;22XYXZYZ，则(2,3)CovXYZX。7、设（1X，2X，…，nX）为来自正态总体X～2,0N的一个样本，则2121niiXn～。8、写出两个正态总体在均值12,未知时的方差比得置信度为1的置信成绩区间。二、（12分）某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为05.0、04.0、03.0及02.0，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上产的概率为多少？三、（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：510()50xXexfx其它，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布，并求1YP。四、（10分）在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，试求选中自己礼物的人数X的均值与方差。五、（8分）五个独立元件,寿命分别为125,,,,XXX都服从参数为的指数分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。六、（8分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为2的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。七、（10分）设总体X的密度函数为其它010;1xxxf，又(1X，2X，…，nX)是取自总体X的一个样本，求未知参数的矩估计量和极大似然估计量。八、（10分）某校为评估教学改革后教学质量情况，分别在2005年，2008年举行两次高数考试，考生是从该校大一学生中随机抽取，每次100个。两次考试的平均得分分别为5.63、0.67。假定两次高数考试成绩服从正态分布211(,)N、222(,)N，1.21，2.22；对显著水平05.0检验该校高数成绩有无提高。附表：(1.11)0.8665；(1.64)0.95。（答案可写在背面）西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48考试时间：2008年7月9日一、填空：（每空4分）1、142、19273、10101717P4、(0,1)U5、126、727、128、)1,1(1,)1,1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSS二、设iA第i条流水线生产的产品，1,2,3,4i；B抽到不合格品1234()0.15;()0.20;()0.30;()0.35pApApApA1234()0.05;()0.04;()0.03;()0.02pBApBApBApBA(4分)（1）41()()()0.0315iiipBpApBA(8分)（2）44441()()()0.2222()()iiipApBApABpApBA(12分)三、25101011exp(),(10)()55xXPXfxdxedxe(5分故2(5,)YBe，25(1)1(0)1(1)0.5167PYPYe(10分)四、设10iiXi第人取到自己的礼物第人没取到自己的礼物12...in，，,X101/n11/n(3分)1()EXn11()()1niiEXEXnn(6分)21()iEXn，1();,1,2,,(1)ijEXXijnnnijXX10P1(1)nn11(1)nn222111221111()21111()2()222(1)(1)nnniiijiiijnnnnniijniijniijnEXEXEXXXEXEXXnCnnnnnn第1页22()()()1DXEXEX(10分)五、设整机寿命为N，1,2,,5min{}kkNX(3分)5511,0,()1(1())0,xNkkexFxFx其它，(6分)55,0,()0,xNexfx其它，即exp(5)N(8分)六、设iX为第i天出售的汽车数，1,,365,i一年销售