模糊数学第一章

江南大学理学院模糊信息计算的理论与方法主讲:曹俊峰什么是模糊数学？模糊数学概念FuzzyMathematics研究和处理模糊概念的数学方法。模糊概念：难以精确表达的概念。例：高个子长头发戴宽边眼镜的中年男人1秃子悖论:天下所有的人都是秃子设头发根数nn=1显然若n=k为秃子n=k+1亦为秃子模糊概念模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨等。2共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。3模糊概念模糊集理论美国加州大学控制专家L.A.Zadeh1965年开创模糊数学的产生与基本思想产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用属于程度代替属于或不属于。描述差异的中间过渡。是精确性对模糊性的一种逼近。某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3等.4首次成功的用数学方法描述了模糊概念。课程认识在日常生活中，我们遇到的概念不外乎两类。一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念是明确的。例如人、自然数、正方形等。要么是人，要么不是人。要么是自然数，要么不是自然数。要么是正方形，要么不是正方形。另一类对象概念从属的界限是模糊的，随判断人的思维而定。例如:好不好?快不快？快乐的很，好得很等等。在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。对于这类模糊现象，过去已有的数学模型难以适用，需要形成新的理论和方法，即在数学和模糊现象之间架起一座桥梁。它，就是我们要讲的“模糊数学”。2课程认识本课程为信息与计算科学专业基础课教学目的通过本课程的学习，掌握模糊数学的基本思想，基础理论；从而进一步了解模糊理论的基本应用，能够应用模糊理论解决一些实际问题。教学要求模糊数学基础部分包括：模糊集合及其运算；分解定理和扩张原理；模糊度量；模糊关系；模糊矩阵等。应用方法包括：聚类分析；模式识别；模糊决策等。3用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：数学经典（精确）数学确定性不确定性随机性模糊性随机数学模糊数学4杂志和会议：41976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办《模糊数学》杂志1987年创办《模糊系统与数学》杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一（美国、西欧、日本、中国）涉及学科模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐第一章模糊理论的数学基础普通集合与普通关系一、集合二、关系模糊理论的数学基础普通集合与普通关系集合的有关概念集合的运算集合运算的性质映射与扩张集合的特征函数直积关系的概念关系的运算特征关系等价关系与划分格概念、内涵、外延每一个概念都有一定的外延和内涵概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性的总和一、集合一、集合概念、内涵、外延概念：青菜内涵：一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用外延：韭菜、芹菜、芥兰、白菜、葱等等概念与集合概念可以用集合来表示我们讨论具体问题时，要有论域（议题限制在一定范围内）例如：–在论域“人”上，讨论概念“男子”一、集合概念与集合从集合“人”中挑出所有男子，构成一个子集AA是概念“男子”的–外延–是概念“男子”的集合表现概念可以用集合来表示一、集合一、集合经典集合的回顾十九世纪末，康托（Contort）建立了经典集合论。经典集合论是现代数学各个分支的基础，其本身也是一门严格体系的数学分支。我们可以从常见事物中，抽象出集合这一概念：具有某种特定属性的，彼此可以区别的对象的全体，叫做集合。每个集合里通常包含有若干个体，集合里的每个个体，成为集合中的一个元素。同一集合中的元素都具有某种共性，该集合被讨论的全体对象，称为论域。一、集合1.集合的有关概念:()universe论域讨论范围U称为论域或全集相等:空集:不含任何元素的集合,记为子集:ABBAABBABABxAx或记为包含或于包含的子集，或是则称若.,,真子集:,ABABABABAB且与不相等，称是的真子集，或真包含于记ABBA且，与相等，且ABA=B则称幂集:U的所有子集的集合称为U的幂集,记为P(U)P(U){A|AU}U{x,y,z}例如：P(U){{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},U,}1.集合的有关概念定理:如果有限集合U有n个元素，则其幂集P(U)有2n个元素。例：P()={}P(P())={,{}}注意点：和，A={},则有A,A，{}A,{}A例题：A={a,{b},c}则aA,bA,cA{a}A,{b}A,{c}A2.集合的运算(set-theoreticoperations)A,BP(U)(){|}unionABxxAxB并或(int){|}ersectionABxxAxB交且}|{)(AxxAcomplementc余表“或”表“且”表“非”ABxxA,xB差ABEA∩B=ABEA∩BA⊂BABEA∪BABEA-BAE~A３.集合运算的性质(1)幂等律(idempotence)AAAAA(2)交换律(commutativity)ABBAABBA(3)结合律(associativity)A(BC)(AB)C(AB)CA(BC)(4)吸收律(absorptionlaws)A(AB)AA(AB)A(5)分配律(distributivity)()()(()()())ABCABACABCABAC(6)存在最大最小元AU(7)还原律(involution)AAcc)(３.集合运算的性质(8)DeMorgan德.摩根律（对偶律）()()ccccccABABABAB(9)补余律(complementation)排中律矛盾律ccAAU()AA()推广：{|,},iiiIAxiIxA{|,}iiiIAxiIxAiAP(U)(iI)分配律、对偶律等可推广３.集合运算的性质4.集合中元素的计数集合A＝{1，2，…，n}，它含有n个元素,可以说这个集合的基数是n，记作cardA＝n也可以记为｜A｜＝n，空集的基数是即｜｜＝0．有穷集、无穷集定义:设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数），使得｜A｜＝cardA＝n，则称A为有穷集，否则称A为无穷集。例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷集。5.映射与扩张（1）映射(mapping):实际是函数概念的推广xX,记号：af:XYxyf(x)例1：定义对应法则：设},,,{},3,2,1{cbaBA12:1,2,3:1,2,3fabcfaaaaaaaaa的映射。到均为从则BAff21,X,Y设都是集合，若存在对应关系f,使都有唯一的与之相对应，则称f是映X入Y的映射。yY读作f映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。（2）特殊映射5.映射与扩张单射(injection)：)()(2121xfxfxx2121)()(xxxfxf或:,fXY且对任意12,,xxX也称f为一一的。满射(surjection)：:,fXY且对任意,yY都有,xX使得(),yfx则称f为满射。也称f映X到Y上（映上）。f为从X到Y的满射当且仅当f(X)=Y.双射(bijection)：满射单射注1.单射或满射的概念与集合有关.例如:.0[[0)(.0[)(22）上的单射，）到，是）映射，非单射，）到，是（xxfxxf注2.双射为1-1对应.5.映射与扩张（3）扩张：点集映射集合变换补讲6.集合的特征函数(characteristicfunctionofaset)AP(U),A1xAxU,(x)0xA.)(的程度属于可理解为AxxAABAB(i)xX,(x)(x)(x)证：()1ABxxABBxAx或1)(1)(xxBA或ABsup((x),(x))1取大运算,如2∨3=3ABAB(x)(x)(x)故称集合A的特征函数。6.集合的特征函数(characteristicfunctionofaset)例题:[2,8],[3,5],1,[2,8],1,[3,5],()()0,[2,8],0,[3,5],ABABxxxxxxxx1,[2,8],max{(),()}0,[2,8],ABxxxxxx1,[2,8][2,8],()0,[2,8]ABxABxxx则则()max{(),()}ABABxxxxxx类似可得：ABAB(ii)xX,(x)(x)(x))(1)(,)(xxXxiiiAAc)()(,)(xxXxBAivBA证：.BA先设.)()(显然xxBAAxxA则若,1)(,0)(xA若Bx1)(xB)()(xxBA取小运算,如2∧3=2,()max()AiiiIAiIxXxx,()min()iiiIAAiIxXxx)()(,xxxBA反之，设1)(,xAxA则若BxxB即从而,1)(BA于是，)()(,)(xxXxBAvBA推广：6.集合的特征函数(characteristicfunctionofaset)–定义：设A和B是任意两个集合，用A中的元素为第一元素,B中的元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛卡儿积，也称集合A和B的直乘积，记做A×B–一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合A×B，规定A×B＝{x,yxA,yB}，不能写作B×A。二、关系(Relations)1.直积(Descartesproduct)n阶笛卡儿积将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合1.直积(Descartesproduct)1212{(,,,)|}nniiAAAxxxxAKK()(1,2,,)iiAPXinK称为的卡氏积nAAA,,,21例1}3,2,1{},,{BbaA设)}3,(),2,(),1,(),3,(),2,(),1,{(bbbaaaBA则)},3(),,2(),,1(),,3(),,2(),,1{(bbbaaaAB例2R表示实数集，维欧氏空间为即为实平面，则个nRRRRRn例3设集合A={a,b},B={1,2,3},C={d},求A×B×C，B×A。解:先计算A×B＝{{a,1},{a,2},{a,3},{{b,1},{b,2},{b,3}}A×B×C＝{{a,1},{a,2},{a,3},{{b,1},{b,2},{b,3}}×{d}＝{{a,1},d,{a,2},d,{a,3},d,{b,1},d,{b,2},d,{b,3},d}B×A＝{1,a,2,a,3,a,1,b,2,b,3,b}例4设集合A＝{1,2},求A×P(A)。解:P(A)={,{1},{2},{1,2}}A×P(A)＝{1,2}×{,{1},}{2},{1,2}={1,,2,,1,