模糊算法

暑期学习收获制作by黄建苓灰色系统重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM（1,1），GM(1,N)模型，灰色系统模型的检验，应用举例。1灰色系统理论的产生和发展动态1982年邓聚龙发表第一篇中文论文标志着灰色系统这一学科诞生。1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989年英文版国际刊物杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量事迹问题，取得了显著成果。2灰色系统的基本原理2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有已下四种：1.元素信息不安全2.结构信息不完全3.边界信息不完全4.运行行为信息不完全2.2灰色系统与模糊数学、黑箱数学的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。灰色系统着重外延丰富、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，试扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。2.3灰色系统的基本原理•公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。•公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。•公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。•公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。•公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。•公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。2.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色关联度分析灰色统计灰色聚类3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。3.1灰色系统理论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为，其数据见下表：4,3,2,10000xxxx序号1234符号数据123410x20x31x41x将上表的数据作图得0123451234XY上图表明原始数据0x0x0x没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据做累加生成，记第K个累加生成为并且kx1321)2()1()2()0()0()1(XXX5.45.121)3()2()1()3()0()0()0()1(XXXX5.735.121)4()3()2()1()4()0()0()0()0()1(XXXXX得到数据如下表所示序号1234符号数据134.57.511x)2()1(X)3()1(X)4()1(X0123456781234XY上图表明生成数列X是单调递增数列3.2灰色系统预测模型建立1.数列预测GM（1，1）模型灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。Gm（1，1）建模过程和机理如下：记原始数据序列为非负序列nxxxxX00000,...,3,2,1其中，nkkx,,2,1,0)()0(其中其相应的生成数据序列其中，nkkx,,2,1,0)()0(nxxxxX11111,..,.3,2,1)1(Xnkixkxki,,2,1,)()(1)0()1()(,),2(),1()1()1()1()1(nzzzZbkazkx)()()1()0(称为Gm(1,1)模型，其中a，b是需要通过建立求解的参数，若),(baa且)()3()2()0()0()0(nxxxY)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(zzzzB则求微分方程bkazkx10的最小二乘估计系数列，满足YBBBaTT1)(ˆ称为灰微分方程，的白化方程，也叫影子方程baxdtdx)1()1(bkazkx)()()1()0(如上所述，则有1.百化方程的解或称时间响应函数为1.Gm（1，1）灰微分方程的时间序列为3.取，则baxdtdx)1()1(abeabxtxat))0(()(ˆ)1()1(bkazkx)()()1()0()1()0()0()1(xxnkabeabxkxak,,2,1,))0(()1(ˆ)1()1(则4.还原值4灰色系统模型的检验定义1.设原始序列相应的模型模拟序列为nkabeabxkxak,,2,1,))1(()1(ˆ)0()1(nkkxkxkx,,2,1),(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0()(,),2(),1()0()0()0()0(nxxxX)(ˆ,),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0(nxxxX残差序列相对误差序列)(),2(),1()0(n)(ˆ)(,),2(ˆ)2(),1(ˆ)1()0()0()0()0()0()0(nxnxxxxx)()(,,)2()2(,)1()1()0()0()0(nxnxxnk11.对于kn,称为k点模拟相对误)()()0(kxkk差，称为平均模拟相对误差；nkkn112.称为平均相对精度，为滤波精度；3.给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。1n1n定义2设0x为原始序列，为相应的模拟误差序列，)0(ˆX为残差序列。为的均值，为的方差)0(nkkxnx1)0()(1)0(X21)0(21))((1xkxnsnk)0(X为残差均值，为残值方差nkkn1)(1nkkns1222))((11.称为均方差比值；对于给定的，当时，称模型为均方差合格模型。2.称为小误差概率，对于给定的；当时，称模型为小误差概率合格模型。12ssc00c16745.0)(skpp0cc00p0pp精度检验等级参照表指标临界性相对误差关联度均方差比值小误差概率精度等级一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。5应用举例例1设原始序列)5(),4(),3(),2(),1()0()0()0()0()0()0(xxxxxX679.3,390.3,337.3,278.3,874.2建立Gm(1,1)模型，并进行检验。解：1）对作1-AGO，得)0(X2）对作紧邻均值生成，令)5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(xxxxxX558.16,579.12,489.9,152.6,874.2)1(X)1(5.0)(5.0)()1()1()1(kxkxkZ)5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(zzzzzZ718.14,84.11,820.7,513.4,874.2于是，1718.14184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(zzzzB679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2()0()0()0()0(xxxxY1718.14184.111820.71513.41111718.14184.11820.7513.4BB4235.38235.38221.423832371.11665542.0165542.0017318.04235.38235.38221.423)(11BB221.423235.38235.384969.2301221.423235.38235.384235.384221.42312679.3390.3337.3278.31111718.14184.11820.7513.4832371.11665542.0165542.0017318.0)(ˆ1YBBBa3）确定模型及时间响应式679.3390.3337.3278.3604076.10019051.0537833.0085280.1089344.0028143.0030115.0087386.0065318.3037156.0065318.3037156.0)1()1(xdtdxabeabxkxak))1(()1(ˆ)0()1(4986.823728.85037156.0ke4）求的模拟值5）还原出的模拟值，由得)1(X)5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(),1(ˆˆ)1()1()1()1()1()1(xxxxxX=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538))0(X)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(kxkxkx)5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0()0()0(xxxxxX=（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）6）误差检验序号实际数据模拟数据残差相对误差23.2783.23710.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%)()0(kx)(ˆ)0(kx)(ˆ)()()0()0(kxkxk)()()0(kxkk残差平方和)5()4()3()2()5()4()3()2(s0662.00911.00171.00462.00662.00911.00171.00462.0=0.0151085平均相对误差%)80.1%69.2%51.0%41.1(414151kk=1.0625%计算X与的灰色关联度Xˆ))1()5((21)1()((42xxxkxSk)874.2679.3(21)874.2390.3()874.2337.3()874.2278.3(0.40250.5160.4630.404=1.7855)1(ˆ)5(ˆ(21)1(ˆ)(ˆ(ˆ42xxxkxSk=1.814442))1(ˆ)5(ˆ())1()5((21))1(ˆ)(ˆ())1()((ˆkxxxxxkxxkxSS=0.0453564525.45999.404535.0