计算方法 偏微分方程数值解

上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—85583997第五章偏微分方程数值解NumericalMethodsforPartialDifferentialEquations5.1偏微分方程简介5.2离散化公式5.3几种常见偏微分方程的离散化计算5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—85583997本章要求教学目的讲解：偏微分方程离散格式及求解的一般过程教学要求熟记一阶及二阶偏微分方程的离散格式；精通用EXCEL迭代对偏微分方程求解；探索用两数组交替更新的办法进行编程求解；延伸对化学反应工程中物理场的模拟进行尝试。教学重点各种偏微分方程的离散与求解EXCEL循环迭代问题教学难点特殊边界条件的引入与应用上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.1偏微分方程简介偏微分方程如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。在化工或化学动态模拟方程中，常常有一个自变量是时间，其它的自变量为空间位置。如果只考虑一维空间，则只有两个自变量；如果考虑两维空间，则有3个自变量。许多化工过程均是通过对偏微分方程的求解进行工艺参数的确定或数值模拟。上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.1偏微分方程简介偏微分方程的分类22222()()()()()()()0uuuuuabcdefugxyxyxy线性微分方程Linearpartialdifferencialequation拟线性微分方程Quasilinearpartialdifferencialequation非线性微分方程Nonlinearpartialdifferencialequation,xy1,,/,nxyuxy,,/,nxyuxy上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.1偏微分方程简介数学上的分类：椭圆方程Elliptic抛物线方程Parabolic双曲线方程Hyperbolic物理实际问题的归类：波动方程(双曲型）一维弦振动模型：热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程拉普拉斯方程（椭圆型）稳态静电场或稳态温度分布场）240bac240bac240bac22222uutx22uutx22220uuxy上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.1微分方程的求解思路求微分方程数值解的一般步骤：Step1区域剖分：首先按一定规则将整个定义域分成若干小块Step2微分方程离散：构造离散点或片的函数值递推公式或方程Step3初始、边界条件离散：根据递推公式，将初值或边界值离散化，补充方程，启动递推运算Step4数值解计算：求解离散系统问题微分方程的定解问题离散系统的求解问题上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.2离散化公式将自变量在时间和空间上以一定的间隔进行离散化，则应变量就变成了这些离散变量的函数。一阶偏导的离散化公式一般采用欧拉公式表示有时为了保证系统和稳定性，对时间的差分往往采用向后公式,,,,,(,,,)nijktntxixyjyzkzuutxyz1,,,,,,,1,,,,,,,,1,,,,,,,,1,,,,,nnijkijktntxixyjyzkznnijkijktntxixyjyzkznnijkijktntxixyjyzkznnijkijktntxixyjyzkzuuuttuuuxxuuuyyuuuzx1,,,,(1),,,nnijkijktntxixyjyzkzuuutt上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.2离散化公式对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化计算公式：112,,,,,,22,,,21,,,,1,,22,,,2,1,,,1,,22,,,222()2()2()nnnijkijkijktntxixyjyzkznnnijkijkijktntxixyjyzkznnnijkijkijktntxixyjyzkztntuuuuttuuuuxxuuuuyyuz,,1,,,,12,,,2()nnnijkijkijkxixyjyzkzuuuz上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.2离散化公式推导将uk+1在uk处按二阶泰勒式展开：将uk-1在uk处按二阶泰勒式展开：二式相加得：22312()2!kkkkuuhuuhOhxx22312()2!kkkkuuhuuhOhxx211222()kkkuuuuxx上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.3几种常见偏微分方程的离散化计算1、波动方程其中：为初值条件为边值条件当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二者均提供时称为波动方程的混合问题。2222200012(,)(),()(),()ttxxluuafxttxuuxxtutut00012(),()(),()ttxxtuuxxtutut上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.3.1波动方程求解对于初值问题，是已知t=0时，u与依赖于x的函数形式，求解不同位置，不同时刻的u值。而u是定义在的二元函数，即上半平面的函数。对于混合问题除初值外，还有边值。是已知初值及x=0及x=l时u依赖于t的函数，求解不同位置x，不同时刻的u值。此时u是定义在的带形区域上的二元函数。ut0,txxt0a)初值问题tx0lb)混合问题上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.3.1波动方程求解2222200012(,)(),()(),()ttxxluuafxttxuuxxtutut1121122(i1,2,,m-1)22(,)()()(1,2,)nnnnnniiiiiiuuuuuuafxttxn22212221211222()()()(22)()(,)()()()nnnnniiiiitttuauauauuxfxtxxx100012(),()(i1,2,,m)(),()(n1,2,)iiinnmuuujxixtuntunt方程离散化整理可得：边界条件初始条件离散化xxiτnniu1niu1niu上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.3.1波动方程求解例5.1:用数值法求解下面偏微分方程。0012()3150,30,2501,0WnWjxttTtxTtttxx110.01,0.1nnjjnnjjttttttxxx110.020.680.3nnnjWjjtTtt112()3nnnnjjjjjWntttttTx此微分方程，是在不考虑流体本身热传导时的套管传热微分方程.由计算结果可知，当计算的时间序列进行到72时，传热过程已达到稳态，各点上的温度已不随时间的增加而改变。如果改变套管长度或传热系数，则达到稳态的时间亦会改变。EXCEL上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—855839975.3.2一维流动热传导方程与波动方程的情形类似，用差商近似代替偏商，可以得到一维流动传热传导方程的混合问题的差分方程，以其解作为流动传热传导方程的近似解。222001(,)00000txlxuuuabfut(xl,t)txxu(x),(xl)u(t)xuμ(t)0(t)12111201012(,)()()(i12)0(0,1,2,)(nnnnnnniiiiiiiinnmmnuuuuuuuabfixnttxxuix,,,muunxun)(0,1,2,)tn1,,,,,,,21,,,,1,,22,,,2,1,,,1,,22,,,22,,,2()2()nnijkijktntxixyjyzkznnnijkijkijktntxixyjyzkznnnijkijkijktntxixyjyzkztntxixyjyzkuuuttuuuuxxuuuuyyuz,,1,,,,122()nnnijkijkijkzuuuz2、一维流动热传导方程的混合问题离散化上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—85583997将上式进行处理得到：该式是显式格式。只要保证式中各项系数大于零，一般情况下是稳定的，可以获得稳定的解。分析上式可以发现，当为了提高数值精度取适当小的Δx时，最有可能小于零的系数是uin的系数，若要保证此项系数大于零，此时Δt必须相应地更小,会导致计算量将大大增加，这是显式格式的缺点，为了克服此缺点，下面提出一种隐式格式：偏微分方程在点上进行离散化，且对时间的偏微分采用向后欧拉公式得到原偏微分方程的离散化公式：111111211122(,(1))()nnnnnnniiiiiiiuuuuuuuabfixnttxx122211222(,)()(12)()()()nnnniiiitttttutfixntabuabuauxxxxx(,(1))ixnt5.3.2一维流动热传导方程上一页下一页回目录休息Email:[e-mail]:029—85583997从图5-3中可见要由初值及边界条件一排一排推上去是不行的，需解线性方程组,同时添上二边界条件：正好共有m+2个方程，同时有m+2个变量，就能解出n+1排上各点值。这样，每解一个线性方程组，就可以往上推算一排点的u值，虽然引入了方程组的求解，有可能增加