第3讲;点、直线与圆的位置关系;学生版

第三讲点、直线与圆的位置关系中考要求内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题知识点睛一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外PrO点在圆的外部dr点P在O⊙的外部.点在圆上PrO点在圆周上dr点P在O⊙的外部.点在圆内PrO点在圆的内部dr点P在O⊙的外部.确定圆的条件1.圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定．2.过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点AB、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点AB、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点ABC、、共线时，过三点的圆不存在；若ABC、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过n4n个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4.三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.二、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点．dr直线l与O⊙相离相切lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．dr直线l与O⊙相切相交lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．dr直线l与O⊙相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：三、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线长和切线长定理：⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．4．弦切角等于同弧所对的圆周角．①切线的判定定理设OA为⊙O的半径，过半径外端A作l⊥OA，则O到l的距离d=r，∴l与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系drdrdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无lAOOAlAOl证明一直线是圆的切线有两个思路：(1)连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂直，证垂直在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：(1)垂直于切线(2)过切点(3)过圆心TAOBMTAO定理：①过圆心，过切点垂直于切线OA过圆心，OA过切点A，则OA⊥AT②经过圆心，垂直于切线过切点12ABMABMT过圆心为切点③经过切点，垂直于切线过圆心12AMMTAMM过圆心为切点重、难点重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点与关键：由点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．例题精讲一、点与圆的位置关系【例1】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为______．【例2】已知：四边形ABCD中，ABCD∥，ADBC，135BAD，20AB，40CD，以A为圆心，AB长为半径作圆．求证：在A⊙上，在A⊙内，A⊙外都有线段DC上的点.DCBA【例3】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作O⊙，已知A，B，C三点的坐标分别为34A，，33B，，410C，，试判断A，B，C三点与O⊙的位置关系.【例4】在ABC中，90C，4AC，5AB，以点C为圆心，以r为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r取何值时，点A在C⊙上，且点B在C⊙内部？⑵当r在什么范围内取值时，点A在C⊙外部，且点B在C⊙的内部？⑶是否存在这样的实数r，使得点B在C⊙上，且点A在C⊙内部？CBA【例5】已知ABC中，90C，2AC，3BC，AB的中点为M，⑴以C为圆心，2为半径作C⊙，则点A，B，M与C⊙的位置关系如何？⑵若以C为圆心作C⊙，使A，B，M三点至少有一点在C⊙内，且至少有一点在C⊙外，求C⊙半径r的取值范围．MCBA【例6】ABC中，10ABAC，12BC，求其外接圆的半径．二、直线与圆的位置关系【例7】(08浙江省丽水)如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，45AOB，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OPx，则x的取值范围是A．O≤x≤2B．2≤x≤2C．－1≤x≤1D．x＞2【例8】已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心3cm为半径作圆，则⊙O与BC的位置关系是________．【例9】在RtABC中，90C，12cmAC，16cmBC，以点C为圆心，r为半径的圆和AB有怎样的位置关系？为什么？⑴9cmr；⑵10cmr；⑶9.6cmr．三、切线的判定【例10】如图，ABC为等腰三角形，ABAC，O是底边BC的中点，O⊙与腰AB相切于点D，求证AC与O⊙相切．ODCBA【例11】(据06北京中考题第19题改编)已知：如图，ABC内接于O，AD是过A的一条射线，且BCAD．求证：AD是O的切线．PAOBODCBANMOCBAOFGEDCBAOFEMDCBA【例12】已知：如图，AB是O⊙的直径，C为O⊙上一点，MN过C点，ADMN于D，AC平分DAB．求证：MN为O⊙的切线．OBADCNM【例13】如图，已知OA是O⊙的半径，B是OA中点，BCOA，P是OA延长线上一点，且PAAC．求证：PC是O⊙的切线．POCBA【例14】(08海淀一模)已知：如图，AC是O⊙的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长．⑴若2BACBAN，求证：MN是O⊙的切线；⑵在⑴成立的条件下，当点E是AB的中点时，在AN上截取ADAB，连接BD、BE、DE，求证：BED是等边三角形．【例15】(09湖北孝感)如图，O⊙是RtABC的外接圆，90ABC，点P是圆外一点，PA切O⊙于点A，且PAPB．⑴求证：PB是O⊙的切线；⑵已知31PABC，，求O⊙的半径．POCBA【例16】(09浙江义乌)如图，AB是O⊙的的直径，BCAB于点B，连接OC交O⊙于点E，弦ADOC∥，弦DFAB于点G．⑴求证：点E是BD的中点；⑵求证：CD是O⊙的切线；⑶若4sin5BAD，O⊙的半径为5，求DF的长．【例17】如图，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的O⊙与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．⑴求证：CD与O⊙相切；⑵若正方形ABCD的边长为1，求O⊙的半径．【例18】(2007年武汉)如图，等腰三角形ABC中，10ACBC，12AB．以BC为直径作O⊙交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E．⑴求证：直线EF是O⊙的切线；⑵求sinE的值．GDAOFECB四、切线长定理【例19】如图，PAPBDE、、分别切O⊙于ABC、、，若10PO，PDE周长为16，求O⊙的半径．OPEDCBA【例20】如图，已知AB是O⊙的直径，BC是和O⊙相切于点B的切线，O⊙的弦AD平行于OC，若2OA，且6ADOC，求CD的长．ODCBA【例21】⑴如右图所示，ABC的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，11cmAB.13cmBC，14cmCA，求AD、BE、CF的长．⑵在RtABC中，90C，3AC，4BC，求ABC内切圆的半径．FEDCBAGFEKDCBAOGFDECBA家庭作业【习题1】设RtABC的两条直角边长分别为3，4则此直角三角形的内切圆半径为，外接圆半径为【习题2】等边三角形的外接圆的半径等于边长的()倍．A．23B．33C．3D．21【习题3】(2009年莆田)已知1O⊙和2O⊙的半径分别是一元二次方程120xx的两根，且122OO，则1O⊙和2O⊙的位置关系是．【习题4】(首师大附中2008-2009初三月考)定义：定点A与O⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与O⊙之间的距离．现有一矩形ABCD如图，14cm12cmABBC，，K⊙与矩形的边ABBCCD、、分别相切于点EFG、、，则点A与K⊙的距离为______________．【习题5】(2004潍坊)Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是()A．0个B．l个C．2个D．3个【习题6】RtABC的两条直角边3BC，4AC，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以12r，22.4r，33r为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系.DCBA【习题7】如下图所示，以RtABC的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OEAC∥交AB于E，求证：DE是O⊙的切线；OEDCBA【习题8】(08甘肃兰州)如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE．(1)求证：AE是O的切线；(2)若301cmDBCDE，，求BD的长．【习题9】(09贵州安顺)如图，ABBC，以AB为直径的O⊙交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E．⑴求证：DE是O⊙的切线；⑵作DGAB交O⊙于G，垂足为F，若308AAB，，求弦DG的长．DECBOA